ÜSTEL FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ

Matematik dersi, üstel fonksiyonlar konusu. Üstel fonksiyonların grafiklerinin çizilmesi. y = a^1, a^(1/x) ve a^-x şeklindeki fonksiyonların grafiklerinin çizilmesi. Konu anlatımı ve örnekler.

Üstel fonksiyonların tabanı pozitif bir sayı olduğundan dolayı görüntüleri daima pozitif bir reel sayıdır. Bu nedenle grafikleri daima x ekseninin üzerinde yer alır. Grafiği çizmek için x değişkenine 4 – 5 tane değer verilir ve bu değerlere karşılık gelen y değerleri bulunur. Bu noktalar birleştirilerek fonksiyon grafiği elde edilir.

y = a^x fonksiyonları yani üstel fonksiyonlar x = 0 için 1 olmaktadır. Bu nedenle bu fonksiyonların grafikleri (0,1) noktasından mutlaka geçer.

Bu grafiklerde x deki az bir değişime karşılık y’de büyük çaplı değişmeler olur. Bu nedenle bu fonksiyonların grafiği y eksenine yaklaşarak veya –x eksenine yaklaşarak uzanır.

1 – a > 1 ve x > 0 ise grafik soldan sağa doğru büyür.

2 – 0 < a <1 ve x > 0 ise grafik sağdan sola doğru büyür.

3 – 0 < a < 1 ve x < 0 ise grafik soldan sağa doğru büyür..

4 – a > 1 ve x < 0 ise grafik sağdan sola doğru büyür.

Örnek:

y = 3^x grafiğini çiziniz.

Fonksiyonun x = 1, 3 ve 5 için görüntü kümesini belirleyiniz.

Çözüm:

Bu fonksiyon yukarıda anlattığımız 1. Duruma örnektir.

x = -2 için,

y = 3^-2 = 1/9

x = -1 için,

y = 3^-1 = 1/3

x = 0 için, y = 1

x = 1 için,

y = 3¹ = 3

x = 2 için y = 3² = 9

x = 3 için

y = 3³ = 27

Şimdi bu x ve y değerlerini grafiğe geçirelim.

Örnek:

fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

x = 0 için y = 1

x = 1 için y = 1/5

x = 2 için y = 1/25

x = 3 için y = 1/125

x = -1 için y = 5

x = -2 için y = 25

Örnek:

y = 4^-x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

x = 0 için y = 1

x = 1 için y = 1/ 4

x = 2 için y = 1/16

x = 3 için y = 1/64

x = -1 için y = 4

x = -2 için y = 16

x = -3 için y = 64

Bu değerleri x – y düzleminde işaretleyerek bu noktaları birleştirirsek fonksiyonun grafiğini elde etmiş oluruz.

Örnek:

y = 6^{(x – 2)} fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

x = 0 için y = 1/36

x = 1 için y = 1/6

x = 2 için y = 1

x = 3 için y = 6

x = 4 için y = 36

x = -1 için y = 1/216

Fonksiyon grafiği aşağıdaki gibi olur.

Bu fonksiyonu 2 birim sola kaydırırsak ne olur. x = 2 noktası 0 üzerine gelir. Yani x = 0 için y = 1 olur ki buda y = 6^x fonksiyonunun grafiğidir. Fonksiyon 6^{x+ 1} olsaydı ne olurdu? y = 0 olması için x = -1 olması gerekirdi. Bunun için de grafiği 1 birim sola kaydırmamız gerekirdi.

Fonksiyon grafiğini sağa veya sola kaydırma kafanızı karıştırabilir. Yukarıda açıkladığımız matematiksel işlemler size kesin grafiği verecektir. x değişkenine (-2) ile 3 arasında tamsayı değerleri vererek fonksiyonun grafiğini kolayca çizebilirsiniz. 

Grafikleri okumada ordinat değerinin apsisin kuvveti olduğunu bilmeniz lazım. Örneğin bir fonksiyon grafiğinde bir nokta (2, 1/25) şeklinde verilmişse, 1/25 sayısının a sayısının 2. Kuvveti olduğunu gözönünde bulundurun. Karesi 1/25 olan sayı 1/5 tir. Böylece fonksiyonun y = (1/5)^x  olduğu kolayca ortaya çıkar. Aşağıdaki eşitlikle kolayca bulabilirsiniz.

y = a^x

1/25 = a²

(1/5)² = a²

a = 1/5

Bir fonksiyon grafiğinde bir nokta (3, 64) ile verilmişse fonksiyonu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

64 = a³

4³ = a³

a = 4 olarak bulunur. Fonksiyon aşağıdaki şekilde yazılır.

y = f(x)

f(x) = 4^x

Üstel Fonksiyonlar Konu Anlatımı

Logaritma Kavramı Konu Anlatımı

SANATSAL BİLGİ

14/04/2019