Özel Ders

ARKKOSİNÜS VE ARKTANJANT FONKSİYONLARI

Matematik dersi, ters trigonometrik fonksiyonlar konusu. Arccosx ve arctanx fonksiyonlarının tanımı ve hesaplanması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

1. Kosinüs Fonksiyonunun Tersi

Cosx fonksiyonunu [0 – π] aralığına kısıtlarsak fonksiyon birebir ve örten olur. Bu durumda bu fonksiyonun bir tersi olur. Bu ters fonksiyona arccosx fonksiyonu denir.

Bir fonksiyonun tersini kullanarak f(x) = y eşitliğinden, f^-1(y) = x bağıntısına ulaşıyorduk. Bu bize y değerini veren x değişkenini veriyordu.

Arccosx = y fonksiyonunu kullanarak, x değerini veren açıyı buluruz. Tüm ters fonksiyonlarda amaç budur: açıyı bulmak.

Tanım:

f: [0, π] → [-1, 1], f(x) = cosx fonksiyonu için,

f^-1[-1, 1] → [0, π], f^-1(x) = arccos(x) fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir.

cosx = y ↔ x = cos^-1y

cos^-1y= arccosy = x

Arccos1

Örnek:

Arccos √3/2 = x ise x kaçtır?

Çözüm:

Arccos(√3/2) = x

Cosx =	√3
	2

x = 30°

Örnek:

Arccos(sin(π/3)) + arcsin(cos(π/3)) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Önce parantez içindeki kısımları yapalım.

Sin(π/3) = sin60 =	√3
	2

Cos(π/3) = cos60 =	1
	2

Bu durumda,

Arccos(sin(π/3)) + arcsin(cos(π/3) denklemini

= arccos(√3/2) + arcsin(1/2)

Şeklinde yazabiliriz.

Şimdi ters fonksiyonların değerini bulalım.

Arccos(√3/2) = u

Cosu = √3/2

u = 30°

arcsin(1/2) = v

sinv = 1/2

v = 30°

Arccos(sin(π/3)) + arcsin(cos(π/3)

= u + v

= 60°

Örnek:

f(x) = cosx

g(x) = sinx

fonksiyonları veriliyor.

gof^-1(0,5) işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

g(x) fonksiyonunun tersi,

g^-1(x) = arcsinx fonksiyonudur.

fog^-1(x) = cos(arcsinx)

fog^-1(0,5) = cos(arcsin(0,5))

arcsin(0,5) = ϑ

sinϑ = 0,5

ϑ = 30°

Bu durumda eşitliği aşağıdaki gibi yazabiliriz.

fog^-1(x) = cos(arcsinx)= cos30°

cos30° =	√3
	2

2. Tanjant Fonksiyonunun Tersi

Tanım:

Arccos2

f^-1(x) = arctanx dir.

tanx = y ↔ tan^-1y = x

tan^-1y = arctany = x

y değerini veren x açısını arctany eşitliği ile buluyoruz.

Arccos3

Örnek:

Arctan(1) değerinin eşitini bulunuz.

Çözüm:

Arctan1 = x

tanx = 1

x = π/4

Örnek:

cos[arctan(√3)] + sin[arctan(1/√3)] + tan[arccos(0,5)] işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Terim terim gidelim.

1. cos[arctan(√3)]

arctan√3 = u

tanu = √3

u = 60°

cos(arctan(√3)) = cos60 = 0,5

2. sin[arctan(1/√3)]

arctan(1/√3) = v

tanv = 1/√3

v = 30°

sin(arctan(1/√3)) = sin(30) = 0,5

3. tan[arccos(0,5)]

arccos(0,5) = t

cost = 0,5

t = 60

tan(arccos(0,5) = tan60 = √3

Şimdi toplama işlemini yapabiliriz.

cos(arctan(√3)) + sin(arctan(1/√3)) + tan(arccos(0,5)

= 0,5 + 0,5 + √3

= 1 + √3

Örnek:

Bir RL devresinde gerilim ile akım arasındaki açı aşağıdaki eşitlikle bulunmaktadır.

Φ = tan^-1(XL/R)

Bu devrede XL = 800 Ω, R = 1000 Ω olduğuna göre, akım ile gerilim arasındaki faz açısı kaç derecedir?

(Not: hesap makinesi kullanın)

Çözüm:

Akım ile gerilim arasındaki açı,

Φ = tan^-1(XL/R)

Eşitliği ile verilmiş. Yani

Arctan(X_L /R) = φ dır.

X_L/R = 800/1000

= 0,8

Arctan(0,8) = φ

Φ = 38,7°

Hesap makinesinde ters trigonometrik fonksiyonun nasıl hesaplanacağını biliyorsunuzdur herhalde. Bilgisayarınızdaki hesap makinesi üzerinden size tekrar anlatalım.

Öncelikle bilgisayarınızdan hesap makinenizi açın, üst menüden "Görünüm" sekmesini tıklayın, açılan menüden "Bilimsel" seçeneğini seçin. Hesap makinesinde tüm fonksiyonlar görünecektir. Şimdi hesap makinesine 0,8 yazın yukarıda sol tarafta Inv tuşuna basın alt kısımda ters trigonometrik fonksiyonlar görülecektir. Bu fonksiyonlardan tan^-1 tuşuna basarsanız size açıyı verecektir. Sinüs ve kosinüsün ters fonksiyonlarında da bu şekilde işlem yapıyoruz.

Trigonometrik Cosx Denklemi

SANATSAL BİLGİ

18/06/2019