ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Artan ve azalan fonksiyonlar. Bir fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkların türev yardımıyla bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
∀ x ∈ (a, b) için
x1 > x2 ↔ f(x1) > f(x2) ise f(x) fonksiyonu artandır.
x1 > x2 ↔ f(x1) < f(x2) ise f(x) fonksiyonu azalandır.
f(x) fonksiyonunun pozitif tanımlı olduğu aralıkta f(x) > 0 ve negatif tanımlı olduğu aralıkta f(x) < 0 dır.
Bir fonksiyona herhangi bir noktadan çizilen teğetin eğimi bu fonksiyonun o noktadaki türevine eşittir.
Eğimin negatif olduğu bölgede fonksiyon azalan, eğimin pozitif olduğu bölgede fonksiyon artan olma özelliği göstermektedir.
Buna göre bir fonksiyonun bir noktada artan veya azalan olduğu, o noktadaki türevine bakılarak anlaşılabilir.
Teorem:
f: (a, b) → R,
y = f(x) fonksiyonu türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
∀ x ∈ (a, b) için,
f’(x) > 0 ↔ y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında artandır.
f’(x) < 0 ↔ y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında azalandır.
f’(x) = 0 ↔ y = f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında sabit bir fonksiyondur.
Bir fonksiyona herhangi bir noktada çizilen teğet, x eksenine sağdan daha yakın ise yani, x ekseni ile teğet arasındaki açı 90° den küçük ise eğim pozitiftir aksi halde negatiftir.
Yukarıdaki şekilde yer alan y = f(x) fonksiyonuna çizilen tüm teğetlerin eğimi pozitiftir.
Şekilde görülen y = f(x) fonksiyonuna çizilen tüm teğetlerin eğimi negatiftir.
Şekildeki f(x) fonksiyonuna (a, b) aralığında çizilen teğetlerin eğimi negatiftir.
(b, c) aralığında çizilen teğetlerin eğimi pozitiftir.
(c, d) aralığında çizilen teğetlerin eğimi negatiftir.
(d, e) aralığında çizilen teğetlerin eğimi pozitiftir.
Örnek:
f(x) = x3 + 5x2 – 8x + 10
fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
f’(x) = 3x2 + 10x – 8
Bu fonksiyonu 0’a eşitleyerek köklerini buluruz.
3x2 + 10x – 8 = 0
(3x – 2)(x + 4) = 0
x = 2/3 veya x = - 4
Burada elimizde 3 önemli aralık var; Köklerle sonsuz arasında kalan bölge ve iki kök arasında kalan bölge. Bu bölgedeki işaretleri inceleyeceğiz.
1. (-∞, -4) aralığı
-4 fonksiyonun bir köküdür. Bu değerde f’(x) = 0 olmaktadır. Bu değerin solunda başka kök yoktur. O halde (-∞, -4) aralığını inceleyeceğiz. Önce -∞ değerini, sonra -4’e yakın bir değeri vererek bu aralıktaki işaretini anlayabiliriz.
x = -∞ için f’(x) = 3.( -∞)2 + 10. (-∞) - 8
= ∞
x = -5 için,
f’(-5) = 75 – 50 – 8 = 17
x = -4 için
f’(-4) = 3.16 – 40 – 8
= 48 – 48 = 0
Buna göre fonksiyon türevi (-∞, -4) aralığında pozitiftir.
Fonksiyon türevinin pozitif olduğu aralıkta f(x) fonksiyonu artandır.
2. (-4, 2/3) aralığı
f’(x) fonksiyonuna, -4’e ve 2/3’e yakın iki değerle işaret testi yapalım.
f’(x) = 3x2 + 10x – 8
x = - 3 için,
f’(-3) = 27 – 30 – 8 = -11
f’(1/3) = 1/3 + 10/3 – 8 = -13/3
Bu aralıkta f’(x) fonksiyonunun negatif olduğu görülmektedir.
f’(x) in negatif olduğu aralıkta f(x) azalan olmaktadır.
3. (2/3, ∞) aralığı
f’(1) = 3 + 10 – 8 = 5
f’(∞) = 2.∞ + 10.∞ - 8 = ∞
f’(x) fonksiyonu (2/3, ∞) aralığında pozitiftir.
f(x) fonksiyonu bu aralıkta artan fonksiyondur.
Örnek:
-x3 – 6x2 + 36x + 48 = 0
Fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm:
Önce f(x) fonksiyonunun türevini alırız. Daha sonra bu türevi 0 yapan x değerlerini buluruz. Bu değerleri sınır noktası olarak belirleyerek ara bölgelerinde fonksiyonun işaretini inceleriz.
f’(x) = -3x2 – 12x + 36
-3x2 – 12x + 36 = 0
3(-x2 – 4x + 12) = 0
3(2 – x )(x + 6) = 0
x1 = - 6, x2 = 2
Sınır değerler -6 ve 2’dir
1. aralık (– ∞, -6) aralığı
f’(x) = – 3x2 – 12x + 36
x = -∞ için,
– 3.( – ∞)2 – 12.( – ∞) + 36
– 3.∞2 + 12.∞ + 36
= – ∞
x = – 7 için,
f’(x) = – 3.( –7)2 – 12.( –7) +36
= – 147 + 84 +36
= –27
(– ∞, – 6) aralığında f'(x) fonksiyonu negatif değerler almaktadır.
Buna göre bu aralıkta f(x) fonksiyonu azalandır.
2. (–6, 2) aralığı
f’(x) = –3x2 – 12x + 36
f’(-5) = -3(-5)2 – 12.(-5) + 36
= - 75+ 60 + 36
= 21
x = 1 için,
f’(x) = –3x2 – 12x + 36
f’(1) = -3 – 12 + 36
= 21
(–6, 2) aralığında fonksiyon türevi pozitiftir. Buna göre bu aralıkta f(x) fonksiyonu artandır.
3. (2, +∞) aralığı
f’(x) = –3x2 – 12x + 36
f’(3) = - 27 – 36 + 36
= - 27
f’(∞) = -3.(∞)2 – 12.∞ + 36
= - ∞
f’(x), (2, +∞) aralığında negatiftir. Buna göre f(x) fonksiyonu bu aralıkta azalandır, eğimi negatif olur.
Maksimum ve Minimum Noktaları
SANATSAL BİLGİ
18/07/2019