BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

Matematik bağıntı özellikleri. Yansıma, simetri, ters simetri, geçişme özellikleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Bağıntı Özellikleri

Yansıma Özelliği

A da tanımlı bir β bağıntısında A kümesinin her x elemanı için (x, x) şeklinde sıralı ikiler bulunuyorsa β bağıntısı yansıyandır denir. Yansıyan bir bağıntıda, A kümesinin tüm elemanlarının kendisi ile eşlenmiş formunun bulunması gerekir.

Tanım:

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı için. 

∀ x ɛ A için (x, x) ɛ β ise, β yansıyandır.

Örnek:

A = {3, 6, 9, 12, 15, 18} kümesi üzerinde tanımlı çeşitli bağıntılar aşağıda yer alıyor.

β₁ = {(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12) } 

Bağıntısı yansıyan bir bağıntı değildir. Yansıyan bir bağıntı olabilmesi için (15, 15), (18, 18) elemanlarının da bulunması gerekir. 

β₂ = {(3, 3), (6, 6), (12, 12), (15, 15), (18, 18) } 

Bağıntısı yansıyan bir bağıntı değildir. Yansıyan bir bağıntı olabilmesi için (9, 9) elemanının da olması gerekir.


β₃ = {(3, 3), (6, 6), (9, 9), (12, 12), (15, 15), (18, 18) } 

Bağıntısı yansıyan bir bağıntıdır. A kümesinin her elemanı, kendisi ile eşlenmiştir.

β₄ = {(3, 3), (3, 6), (6, 6), (9, 9), (12, 12), (15, 15), (18, 18), (9, 18), (3, 15) }

Bağıntısı yansıyan bir bağıntıdır. Çünkü A kümesinin her bir elemanının kendisi ile eşlenmiş sıralı ikilisi bu bağıntıda vardır.


Yansıma özelliği olan bağıntılarda köşegen üzerindeki tüm noktalar bağıntıya dahildir.


Simetri Özelliği

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı her (x, y) sıralı ikilisi için (y, x) sıralı ikilisine barındırıyorsa bu bağıntı simetriktir.

Tanım:

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı için. 

∀ (x, y) ɛ β için (y, x) ɛ β ise, β bağıntısı simetriktir.

Örnek:

A= {2, 5, 8, 11, 13} kümesi üzerinde tanımlı çeşitli bağıntılar aşağıda verilmiştir.

β₁ = {(2, 5), (8, 13), (5, 2), (13, 8)} 

Bağıntısı simetrik bir bağıntıdır. Çünkü bu bağıntıda yer alan her (x, y) ikilisi için (y, x) şeklinde bir ikili vardır. 

β₂ = {(2,2), (2, 5), (5, 5), (5, 2), (11, 11), (8, 13), (13, 8)}

Bağıntısı simetrik bağıntıdır. Çünkü her (x, y) ikilisi için bir (y, x) bağıntısı mevcuttur.

β₃ = {(8, 13), (8, 8), (11, 13), (13, 11)}

Bağıntısı simetrik bir bağıntı değildir. Çünkü (8, 13) elemanına karşılık gelen(13, 8) ikilisi bağıntıda bulunmamaktadır.


Ters Simetri Özelliği

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı içerdiği her (x, y) ikilisine karşılık bir (y, x) ikilisi bulundurmuyorsa bu bağıntı ters simetriktir. Ters simetrik bağıntıda (x, x) cinsinden ikililerin bulunması ters simetri özelliğine engel olmaz.

Tanım

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı için. 

∀ (x, y) = ɛ β için (y, x) ∉ β ise veya ∀ (x, y) ɛ β için (y, x) ɛ β iken x = y ise β bağıntısı ters simetrik bir bağıntıdır.

Örnek:

A = {a, b, c, d} kümesi üzerinde tanımlı çeşitli bağıntılar aşağıda verilmiştir.

β₁ = {(a, a), (a, b), (c, d), (d, d)}

Bağıntısı ters simetrik bir bağıntıdır. Çünkü (a, a) ve (d, d) ikilileri dışında kalan (a, b) ve (c, d) ikililerinin simetrikler olan (b, a) ve (d, c) bu bağıntıda yer almaz. (a, a) biçimindeki elemanların bulunması ters simetri özelliğini bozmaz.

β₂ = {(a, a), (a, b), (a, c), (c, c), (c, a)}

Bağıntısı ters simetrik değildir. Çünkü (a, c) elemanına karşılık (c, a) elemanı da bu bağıntıda yer almaktadır.

β₃ = {(a, b), (b, c), (c, d), (a, d)} 

Bağıntısı simetrik bir bağıntıdır.


Geçişme Özelliği

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı eğer (x, y) elemanına sahipken, (y, z) elemanına da sahipse ve aynı zamanda (x, z) elemanı da bu bağıntının bir elemanı olursa bağıntının geçişme özelliği vardır denir.

Bir elemanlı bağıntılar daima geçişkendir.

Eğer bir bağıntıda (x, y) ikilisi bulunurken y ile başlayan başka bir eleman yoksa bu bağıntı geçişken bağıntı olur.

Tanım:

A kümesi üzerinde tanımlı bir β bağıntısı için. 

∀ (x, y) ɛ β için (y, z) ɛ β iken (x, z) ɛ β oluyorsa β bağıntısı geçişken bir bağıntıdır.



Örnek:

A = {x, y, z, t} kümesi üzerinde tanımlı çeşitli bağıntılar aşağıda verilmiştir.

β₁ = {(x, y), (x, x), (y, z), (z, t)}

Bağıntısı geçişken değildir. Çünkü (x, y) ikilisi bu bağıntının bir elemanı ve (y, z) ikilisi de bu bağıntının bir elemanı iken (x, z) ikilisi bu bağıntının bir elemanı değildir. Dolayısıyla bağıntı geçişken değildir.

β₂ = {(x, x), (x, y), (y, y), (y, z), (x, z)}

Bağıntısı geçişken bir bağıntıdır. Çünkü (x, y) ve (y, z) bu bağıntının elemanı iken (x, z) de bu bağıntının elemanı olduğundan dolayı bu bağıntı geçişkendir.

β₃ = {(x, y)} Bağıntısı geçişkendir.

β₄ = {(x, x), (y, y), (z, z)} bağıntısı geçişkendir.

Denklik Bağıntısı

Yansıma, simetri, geçişme özelliklerine sahip bağıntıya denklik bağıntısı denir.




SANATSAL BİLGİ

13/12/2016

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI