BASİT KESİRLERE AYIRMA YÖNTEMİ

Matematik dersi, belirsiz integraller konusu. İntegral alma yöntemleri. Basit kesirlere ayırma yöntemiyle integral alma. Kesirleri çarpanlarına ayırarak ve bölerek integrallerini alma.

P(x) ve Q(x) birer polinom olmak üzere,

P(x)/Q(x) şeklindeki fonksiyonlara rasyonel fonksiyonlar denir. Bu fonksiyonların integrallerine rasyonel fonksiyonların integralleri denir. 

Bu tür integralleri çözmek için birçok yöntem ve yaklaşım vardır. Bunlardan biri değişken değiştirme yöntemi, diğeri kısmi integrasyon yöntemidir. Bu yöntemlerle kesirli ifadelerin çözümünü ayrı sayfalarda anlattık. Linkleri sayfa sonundadır. Bu bölümde basit kesirlere ayırma yöntemini anlatacağız.

1. Çarpanlarına Ayırma Yöntemi

der[P(x)] < der[Q(x)] ise ve Q(x) çarpanlarına ayrılabiliyorsa,

P(x)/Q(x) fonksiyonu

Şeklinde çarpanlarına ayrılarak integrali alınır.

Örnek:

Olduğuna göre V(x) i bulunuz.

Çözüm:

Paydadaki fonksiyonu çarpanlarına ayıralım.

x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)

Buna göre integral içini,

Şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.

Şimdi A ile B’yi bulmalıyız.

Şeklindedir.

Ax + 5A + Bx + 2B = x(A + B) + (5A + 2B)

Bu toplamın 6’ya eşit olması gerekmektedir ki iki kesrin toplamı baştaki fonksiyonu versin.

Buna göre,

x(A + B) = 0 olmalı. Bunun için A + B = 0 olmalı. Buradan B = -A bulunur.

5A + 2B = 6 olmalı. B = -A idi.

5A – 2A = 6

3A = 6

A = 2

B = -2 

Şimdi integrali alabiliriz.

nin integralini bulmak için değişken değiştirme yöntemini uygularız.

 (x + 2) = u

dx = du

Bu durumda 1. integralin içi 2/u olur. Bu fonksiyonun integrali,

2lnu dur. u = x + 2 olduğundan 1. integral 2ln(x + 2) olur.

2. integralde aynı mantıkla -2ln(x + 5) olacaktır. Buna göre

V(x) = 2ln(x + 2) – 2ln(x + 5) + C 

2. Polinomlar arasında bölme işlemi yapma

Eğer der[P(x)] > der[Q(x)] ise P(x) polinomu, Q(x) polinomuna bölünür. Bu bölme sonucunda,

Şeklinde bir sonuç ortaya çıkar. K(x)/Q(x) polinomu 1. Maddede anlattığımız şekilde çarpanlarına ayırma yöntemiyle çözülür.

Örnek:

Olduğuna göre V(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Paydaki polinomun derecesi, paydadaki polinomun derecesinden büyük olduğundan payı paydaya böleriz.

Bu bölme işlemini burada yapmayacağız. Polinomlarda bölme işlemini biliyorsunuzdur.

Bölme işlemi sonucunda Bölüm B(x), kalan K(x) olsun.

B(x) = x + 6

K(x) = 8x + 12 olur.

Buna göre integrali,

Şeklinde yazabiliriz. (x + 6) nın integralini almak kolaydır. 

∫(x+6) dx 

Kesirli ifadeyi yukarıda anlattığımız gibi çarpanlarına ayırırız.

x² + 6x + 8 = (x + 4)(x + 2)

Buna göre ifadeyi,

şeklinde kesirlere ayırabiliriz. 

Şimdi bu kesirleri toplayıp düzenleyerek A ve B değerlerini bulalım.

A + B = 8

2A + 4B = 12

1. denklemi -2 ile çarparsak,

-2A – 2B = -16

2A + 4B = 12

2B = -4

B = -2

A = 10

Buna göre bizim kesirlerimiz,

Bu integrallerin herbiri için değişken değiştirme yöntemini kullanacağız.

x + 4 = u

dx = du

(x + 2) = t

dx = dt

= 10 lnu – 2lnt + C2

=10ln(x + 4) – 2ln(x + 2) + C2

Bu sonucu I1 ile toplayacağız.

Kısmi İntegrasyon Yöntemi

Değişken Değiştirme Yöntemi

SANATSAL BİLGİ

16/09/2019