BASİT TÜREV SORULARI
Türevlerle ilgili temel sorular. Bir fonksiyonun genel türevinin çıkarılması. Eğimlerin ve eğim denklemlerinin türevle bulunması. Anlık hızın türevlerden hesaplanması.
Soru – 1
f(x) = x2 – x -12 fonksiyonunun x = 5 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm – 1
1. yol olarak bir noktadaki türevi bulalım.
Bir f(x) fonksiyonunun bir noktadaki türevi aşağıdaki eşitlikle bulunur.
a = 5 olduğuna göre,
f(x) = x2 – x – 12
f(x) – f(5) = x2 – x – 12 – (25 – 5 – 12)
f(x) – f(5) =x2 – x – 20
= Limx→5 (x + 4)
= 9
Buna göre f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasındaki eğimi 9’dur.
2. Yol
f(x) fonksiyonunun türevini bulup bu türevde x = 5 yaparak sonuca gideriz.
Bir f(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibi bulunur,
Kolaylık olması açısından limit içindeki çarpma, bölme, üs alma vs. işlemlerini limit dışında yapacağız.
f(x + h) = (x + h)2 – (x + h) -12
= x2 + 2xh + h2 – x – h – 12
f(x + h) – f(x) = x2 + 2xh + h2 – x – h – 12 – x2 +x + 12
f(x + h) – f(x) =h2 + 2xh – h
| f(x + h) – f(x) | = h + 2x - 1 |
| h |
Şimdi bu en sade şekli limit içine koyalım.
| Limh→0 = | f(x + h) – f(x) |
|
| h |
= Limh→0 (2x + h - 1)
= 2x + 0 - 1
= 2x - 1
f(x) fonksiyonunun türevi 2x’tir. Herhangi bir noktada eğimi bulmak istiyorsak,
f’(x) = 2x - 1
f’(5) = 9
Soru – 2
f(x) = x3 + 3x2
fonksiyonunun x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
Çözüm – 2
Soruyu bu kez basit bir yoldan çözelim,
x3 + 3x2 fonksiyonunun türevi aşağıdaki formül ile bulunur.
f(x) = xn ise,
f’(x) = n.x(n-1)
f(x) = a.xn ise,
f’(x) = a.n.x(n-1)
Buna göre x3 + 3x2 fonksiyonunun türevi,
f’(x) = 3. x2 + 6x
Şeklindedir. Bu türevde x = 4 yazarsak bu noktadaki teğetin eğimini buluruz.
Eğim = 3.16 + 6.4 = 72
Soru– 3
2x2 – 8x eğrisine x = 3 noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.
Çözüm – 3
f(x) = 2x2 – 8x fonksiyonunun türevi, bu fonksiyonun eğimini verecektir. Eğimi bilinen bir doğrunun denklemi,
y – y0 = m.(x – x0) eşitliği ile bulunur.
Öncelikle f(x) fonksiyonuna x = 3 noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım.
2x2 – 8x fonksiyonunun türevi aşağıdaki formül ile bulunur.
f(x) = xn ise,
f’(x) = n.x(n-1)
f(x) = a.xn ise,
f’(x) = a.n.x(n-1)
Toplam veya fark halinde terimler içeren fonksiyonlardaki her terime bu kural tek tek uygulanır. Sabit terim varsa yok edilir.
Buna göre 2x2 – 8x fonksiyonunun türevi,
f’(x) = 2.2.x– 8 = 4x – 8 olur.
Bu fonksiyonun x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi,
f’(3) = 12 – 8 = 4 olur.
Bir doğrunun denklemi,
y – y0 = m.(x – x0) şeklindeydi,
x0 = 3 olsun,
y0 = f(3) olur.
f(x) = 2x2 - 8x
f(3) = y0 = 2.9 – 24
y0 = - 6
y – y0 = 4.(x – x0)
y – ( - 6) = 4(x – 3)
y + 6 = 4x – 12
y = 4x – 18
Soru – 4
Bir aracın aldığı yolun zamana göre fonksiyonu,
x = t2 + 5t + 6
ile verilmektedir.
Bu aracın t = 5 saniyedeki anlık hızı nedir?
Çözüm:
Yolun zamana göre türevi, hızı vermektedir. Buna göre yol fonksiyonunun zamana göre türevini alarak hız fonksiyonunu elde edelim.
Genel türev bulma eşitliğini kullanalım, aslında türev kuralını uygulayarak basitçe hesaplayabilsek de konunun kavranması açısından biraz uzun yoldan hesaplayacağız.
f(t) = t2 + 5t + 6
Kolaylık olması için üs alma, çarpma, bölme vs. işlemleri limit dışında yapıp en sade halini limit içine koyacağız.
f(t + h) = (t + h)2 + 5(t + h) + 6
f(t + h) = t2 + 2th + h2 + 5t + 5h + 6
f(t + h) – f(t) = t2 + 2th + h2 + 5t + 5h + 6 –t2 – 5t – 6
f(t + h) – f(t) = 2th + h2 + 5h
| f(t + h) – f(t) | = 2t + h + 5 |
| h |
Şimdi bu sonucu tekrar limit içine alalım.
Limh→0 (2t + h + 5)
= 2t + 5
Hız fonksiyonumuz bu şekildedir. t = 5 s deki hızı,
2.5 + 5 = 15 m/s dir.
t = 3 s deki hızı, 2.3 + 5 = 11 m/s olur.
2t + 5 ifadesini,
f(x) = xn ise,
f’(x) = n.x(n-1)
Eşitliğinden yararlanarak kolayca bulabilirdik.
Şimdi türevin daha iyi anlaşılması için bir başka yoldan çözelim.
Cismin t = 5 saniyedeki anlık hızı,
limitiyle hesaplanabilir.
f(t) – f(5) = t2 + 5t + 6 – 52 – 5.5 – 6
= t2 + 5t – 50
= (t + 10)(t – 5)
= Limt→5 (t + 10)
= 5 + 10
= 15 m/s
İlk hesaplamada fonksiyonun genel türevini bulduk, ikinci hesaplamada bir fonksiyonun bir noktadaki türevini hesapladık.
Türev Kavramı
SANATSAL BİLGİ
17/06/2018