BELİRSİZ İNTEGRALLER
Matematik dersi, integraller konusu. İntegral nedir? İntegralin tanımı ve bulunması. Sınırsız integraller ve bu integrallerin hesaplanması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Bu derste daha çok integralin tanımı ve basit fonksiyonların integrallerinin alınması gösterilecektir. İntegral alma formülleri , integrallerin özellikleri ve karışık fonksiyonların integrallerinin alma yöntemleri daha sonraki konularda işlenecektir. Bu konuların linki bu dersin sonunda verilmiştir.
f(x) = x2 + 5x – 6 şeklindeki bir fonksiyonun türevini aşağıdaki gibi buluyorduk.
f’(x) = 2x + 5
f’(x) = dy/dx şeklinde gösteriliyordu.
Bu eşitlikten dx.f’(x) = dy bağıntısını çıkarabiliriz.
f’(x) = 2x + 5 olduğundan,
dx.(2x + 5) = dy
Her iki tarafın integralini aldığımızda,
∫(2x+5) dx = ∫dy
x2 + 5x = y eşitliğini elde ederiz.
Yani integral alma işlemi türevi alınmış bir fonksiyonu tekrar elde etme yöntemidir. Burada f(x) = x2 + 5x – 6 idi. Buradaki -6 yerine bir C sabiti ekliyoruz ve
x2 + 5x + C = y eşitliğini elde ediyoruz. Böylece belirsiz bir integral elde etmiş oluyoruz.
y yerine G(x) yazarsak,
G(x) = x2 + 5x + C eşitliğini elde etmiş oluruz. Burada G(x) fonksiyonuna f(x) fonksiyonunun bir antitürevi veya f(x) in bir ilkel fonksiyonu denir.
Burada C yerine sonsuz sayıda reel sayı ekleyebileceğimize dikkat edin. Bu durumda sınırsız sayıda antitürev elde edebiliyoruz. Bu antitürevlerin tamamının aynı noktadaki teğetlerinin eğimi eşittir yani teğetler birbirine paraleldir.
x2 + 5x + 8
x2 + 5x – 4
x2 + 5x – 1
Yukarıdaki fonksiyonların aynı apsisli noktadaki teğetleri birbirine paraleldir.
Tanım:
f bir fonksiyonun antitürevi olsun, f’nin tüm antitürevlerinin oluşturduğu kümeye f fonksiyonunun x değişkenine göre belirsiz integrali denilir ve
∫f(x) dx
Şeklinde gösterilir. Belirsiz integrale sınırsız integral de denilir.
Bu eşitlikte f(x) e integrant, x’e integrasyon değişkeni denir.
Örnek:
∫3x2 -2x+5 dx
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
İntegral içi hangi fonksiyonun türevidir onu bulacağız. Burada integral içindeki toplam veya fark şeklindeki her terimin ayrı ayrı integraller şeklinde yazılabileceğini hatırlatalım.
f’(x) = 3x2 - 2x+5
f(x) = ∫3x2 dx + ∫-2x dx + ∫5 dx
= x3 – x2 + 5x + C
C sabitini biz ekliyoruz. Bu sabit 0 ile ∞ arasında bir reel sayı olabilir.
Örnek:
∫2sinx dx
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
Tamsayı çarpanının hesaplamada bir etkisi yoktur. Bu çarpanı integral dışına çıkarabiliriz.
∫2sinx dx = 2∫sinx dx
Sinx ifadesi bir fonksiyonun türevidir. Türevlerden cosx = -sinx olduğunu hatırlayınız. Burada sinx pozitif olduğuna göre – cosx fonksiyonunun türevi olmalıdır.
∫2sinx dx = - 2cosx
Örnek:
G(x) = ∫2xsinx + 4cosx - 6 dx
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
İntegral içindeki her terimi tek tek hesaplayalım.
2xsinx in integrali = -cosx2
4cosx in integrali = 4sinx
-6 nın integrali = -6x
O halde bu üç terimi birleştirirsek bize G(x) i verecektir.
G(x) = -cosx2 + 4sinx – 6x
Bu eşitliğin sonuna bir C eklemeyi unutmayalım.
G(x) = -cosx2 + 4sinx – 6x + C
Örnek:
G(x) = ∫3x.ln3 + x4 - 3x dx
Olduğuna göre G(x) ifadesini hesaplayınız.
Çözüm:
İntegral içindeki her terimin tek tek eşitini bulalım.
3x.ln3 ifadesinin integrali 3x tir. Hatırlarsanız ax in türevi. ax.lna şeklinde idi.
x4 teriminin integrali x5/5 şeklinde olmalıdır. Çünkü 5.x4/5 = x4 tür.
-3x teriminin integrali -3x/ln3 şeklinde olmalıdır. 3x teriminin türevi 3x.ln3 tür. Bunun 3x şeklinde olması için ln3 böleninin olması lazımdır.
Buraya kadar bulduklarımızı toplarsak,
Örnek:
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
Her terimin tek tek integralini alalım.
x5 teriminin integrali, x6/6 dır.
6x4 teriminin integrali, 6x5/5 tir.
-x3 teriminin integrali, -x4/4 tür.
-2x2 teriminin integrali, -2x3/3 dür.
x teriminin integrali, x2/2 dir.
1’in integrali x tir.
Bu integralleri toplarsak,
G(x)'in sonuna bir C sabiti eklemeyi unutmayın.
İntegral Alma Formülleri
SANATSAL BİLGİ
25/08/2019