BİLEŞKE FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Matematik dersi, türevler konusu. Bileşke fonksiyonların türevini bulma. Türevlerde zincir kuralı. iki veya 3 fonksiyonun bileşkesinin türevi. Konu anlatımı ve çözümlü sorular.
f ve g fonksiyonları türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyonun bileşkesinin türevi;
f fonksiyonu x’de, g fonksiyonu f(x) de türevli ise bu fonksiyonların bileşkesi x de türevlidir.
(fog)(x) fonksiyonunun türevini almak için önce f fonksiyonunun türevi alınır. Bu türevde x yerine g(x) ifadesi konulur. Elde edilen fonksiyon g(x) in türevi ile çarpılır.
Zincir Kuralı
y = f(u) ve u = g(x) olsun,
Şeklinde gösterilebilir. Bu işleme zincir kuralı denir. Üç fonksiyon için zincir kuralının tanımı;
f, g ve h türevlenebilir üç fonksiyon olsun.
y = f(u),
u = g(z),
z = h(x)
olsun, Bu durumda (fogoh)(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibi gösterilebilir.
(fogoh)’(x) = f’(u) . g’(z). h’(x)
= f’[g(h(x))] . g’(h(x)) . h’(x)
Örnek:
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 – 1
Olduğuna göre,
(fog)(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
1. Yol
Önce fonksiyonların bileşkesini alır, daha sonra türevlerini buluruz.
(fog)(x) = 2. (x2 – 1) + 1
(fog)(x) = 2x2 – 1
(fog)’(x) = 4x
2. Yol
(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)
f’(x) = 2
g’(x) = 2x
Buna göre,
f’(g(x)) = 2 olur.
f’(g(x)) . g’(x) = 2.2x
(fog)’(x) = 4x
Örnek:
f(x) = 2x3 + x2
g(x) = x2 + 1
Olduğuna göre,
(fog)’(x) türevini bulunuz.
Çözüm:
Bu soruyu da iki yoldan çözelim, önce bileşke fonksiyonu bulup bu şekilde türev alalım. Daha sonra bileşke fonksiyonlarda türev kuralını uygulayarak türev alalım.
1. Yol,
(fog)(x) = 2. (x2 + 1)3 + (x2 + 1)2
(fog)(x) = 2(x6 + 3x4 + 3x2 + 1) + x4 + 2x2 + 1
(fog)(x) = 2x6 + 6x4 + 6x2 + 2 + x4 + 2x2 + 1
(fog)(x) = 2x6 + 7x4 + 8x2 + 3
Şimdi bileşke fonksiyonun türevini alalım.
(fog)’(x) = 12x5 + 28x3 + 16x
2. Yol,
Önce f ve g fonksiyonlarının türevlerini alıp formüle göre yerleştirme yaparız.
f’(x) = 6x2 + 2x
g’(x) = 2x
f'(x) ifadesinde x yerine g(x) yazarız. Elde ettiğimiz iadeyi g'(x) ile çarparız.
(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)
f’(g(x)) = 6(x2 + 1)2 + 2(x2 + 1)
= 6(x4 + 2x2 + 1) + 2x2 + 2
= 6x4 + 12x2 + 6 + 2x2 + 2
= 6x4 + 14x2 + 8
f’(g(x)) . g’(x) = (6x4 + 14x2 + 8) . 2x
= 12x5 + 28x3 + 16x
Örnek:
y = 2t3 + 6t2
t = 5x2 + 2x
Fonksiyonları veriliyor.
dy/dx işleminde derecesi 5 olan terimin katsayısı kaçtır?
Çözüm:
Türev almada zincir kuralını uygularsak,
Yukarıdaki eşitlikten yararlanarak dy/dx i bulabiliriz.
| dy | | . | dt | = (6t2 + 12t)(10x + 2) | | dx |
|
| dt |
t = 5x2 + 2x değerini yukarıdaki eşitlikte yerine koyacağız.
(6t2 + 12t)(10x + 2)
= [6.(5x2 + 2x)2 + 12(5x2 + 2x)] . (10x + 2)
= (6.(25x4 + 20x3 + 4x2) + 60x2 + 24x) . (10x + 2)
= (150x4 + 120x3 + 24x2 + 60x2 + 24x) . (10x + 2)
= (150x4 + 120x3 + 84x2 + 24x) . (10x + 2)
= 1500x5 + 1200x4 + 840x3 + 240x2 + 300x4 + 240x3 + 168x2 + 48x
= 1500x5 + 1500x4 + 1080x3 + 408x2 + 48x
Buna göre derecesi 5 olan terimin katsayısı 1500’dür.
Örnek:
f(x2 + 4x) = 4x3 + x2
Olduğuna göre, f’(5) kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafında parantez içerisinde yer alan,
x2 + 4x ifadesine g(x) diyelim. Fonksiyon,
f(g(x)) = 4x3 + x2 olur.
Eşitliğin iki tarafının türevini alalım,
f(x2 + 4x)’ = (4x3 + x2)’
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x) Bu eşitliği, yukarıdaki eşitliğin sol tarafına yerleştirelim.
f’(x2 + 4x) . (2x + 4) = 12x2 + 2x
x = 1 için,
f’(5) . 6 = 12 + 2
f’(5) . 6 = 14
Örnek:
y = v2 + 2v
v = 3t + 2
t = 3x2 + 5x
Olduğuna göre,
dy/dx işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Zincir kuralından,
v = 3t + 2
t = 3x2 + 5x olduğundan
v = 3(3x2 + 5x) + 2
v = 9x2 + 15x + 2 olur.
| dy | = 2 . (9x2 + 15x + 2) + 2) . (3) . (6x + 5) |
| dx |
= (18x2 + 30x + 4) . 3 . (6x + 5)
= (54x2 + 90x + 12) . (6x + 5)
= 324x3 + 540x2 + 72x + 270x2 + 450x + 60
= 324x3 + 810x2 + 522x + 60
Çözümlü Türev Soruları
Üstel Fonksiyonların Türevi
Kapalı Fonksiyonların Türevi
SANATSAL BİLGİ
13/05/2018