BİLEŞKE FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Bileşke fonksiyonların türevini bulma. Türevlerde zincir kuralı. iki veya 3 fonksiyonun bileşkesinin türevi. Konu anlatımı ve çözümlü sorular.



 f ve g fonksiyonları türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu iki fonksiyonun bileşkesinin türevi;

Bilesketurev_K1I1


f fonksiyonu x’de, g fonksiyonu f(x) de türevli ise bu fonksiyonların bileşkesi x de türevlidir.

(fog)(x) fonksiyonunun türevini almak için önce f fonksiyonunun türevi alınır. Bu türevde x yerine g(x) ifadesi konulur. Elde edilen fonksiyon g(x) in türevi ile çarpılır.


Zincir Kuralı

y = f(u) ve u = g(x) olsun,


(fog)’(x) = dy
= dy
.du
dx
du
dx





Şeklinde gösterilebilir. Bu işleme zincir kuralı denir. Üç fonksiyon için zincir kuralının tanımı;


f, g ve h türevlenebilir üç fonksiyon olsun.


y = f(u),

u = g(z),

z = h(x)

olsun, Bu durumda (fogoh)(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibi gösterilebilir.

Bilesketurev_K1I3


(fogoh)’(x) = f’(u) . g’(z). h’(x)

= f’[g(h(x))] . g’(h(x)) . h’(x)


Örnek:

f(x) = 2x + 1

g(x) = x2 – 1

Olduğuna göre,

(fog)(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

1. Yol

Önce fonksiyonların bileşkesini alır, daha sonra türevlerini buluruz.

(fog)(x) = 2. (x2 – 1) + 1

(fog)(x) = 2x2 – 1

(fog)’(x) = 4x

2. Yol

(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

f’(x) = 2

g’(x) = 2x

Buna göre,

f’(g(x)) = 2 olur.

f’(g(x)) . g’(x) = 2.2x

(fog)’(x) = 4x


Örnek:

f(x) = 2x3 + x2

g(x) = x2 + 1

Olduğuna göre,

(fog)’(x) türevini bulunuz.


Çözüm:

Bu soruyu da iki yoldan çözelim, önce bileşke fonksiyonu bulup bu şekilde türev alalım. Daha sonra bileşke fonksiyonlarda türev kuralını uygulayarak türev alalım.

1. Yol,

(fog)(x) = 2. (x2 + 1)3 + (x2 + 1)2

(fog)(x) = 2(x6 + 3x4 + 3x2 + 1) + x4 + 2x2 + 1

(fog)(x) = 2x6 + 6x4 + 6x2 + 2 + x4 + 2x2 + 1

(fog)(x) = 2x6 + 7x4 + 8x2 + 3

Şimdi bileşke fonksiyonun türevini alalım.

(fog)’(x) = 12x5 + 28x3 + 16x


2. Yol,

Önce f ve g fonksiyonlarının türevlerini alıp formüle göre yerleştirme yaparız.

f’(x) = 6x2 + 2x

g’(x) = 2x

f'(x) ifadesinde x yerine g(x) yazarız. Elde ettiğimiz iadeyi g'(x) ile çarparız.

(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

f’(g(x)) = 6(x2 + 1)2 + 2(x2 + 1)

= 6(x4 + 2x2 + 1) + 2x2 + 2

= 6x4 + 12x2 + 6 + 2x2 + 2

= 6x4 + 14x2 + 8

f’(g(x)) . g’(x) = (6x4 + 14x2 + 8) . 2x

= 12x5 + 28x3 + 16x


Örnek:

y = 2t3 + 6t2

t = 5x2 + 2x


Fonksiyonları veriliyor.

dy/dx işleminde derecesi 5 olan terimin katsayısı kaçtır?


Çözüm:

Türev almada zincir kuralını uygularsak,

dy 
= dy 
. dt
dx
dt
dx





Yukarıdaki eşitlikten yararlanarak dy/dx i bulabiliriz.


y’ = dy = 6t2 + 12t
dt




t’ = dt = 10x + 2
dx




dy 
.dt = (6t2 + 12t)(10x + 2)
dx
dt





t = 5x2 + 2x değerini yukarıdaki eşitlikte yerine koyacağız.

(6t2 + 12t)(10x + 2) 

= [6.(5x2 + 2x)2 + 12(5x2 + 2x)] . (10x + 2)

= (6.(25x4 + 20x3 + 4x2) + 60x2 + 24x) . (10x + 2)

= (150x4 + 120x3 + 24x2 + 60x2 + 24x) . (10x + 2)

= (150x4 + 120x3 + 84x2 + 24x) . (10x + 2)

= 1500x5 + 1200x4 + 840x3 + 240x2 + 300x4 + 240x3 + 168x2 + 48x

= 1500x5 + 1500x4 + 1080x3 + 408x2 + 48x


Buna göre derecesi 5 olan terimin katsayısı 1500’dür.


Örnek:

f(x2 + 4x) = 4x3 + x2

Olduğuna göre, f’(5) kaçtır?


Çözüm:

Eşitliğin sol tarafında parantez içerisinde yer alan,

x2 + 4x ifadesine g(x) diyelim. Fonksiyon,

f(g(x)) = 4x3 + x2 olur.

Eşitliğin iki tarafının türevini alalım,

f(x2 + 4x)’ = (4x3 + x2

[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x) Bu eşitliği, yukarıdaki eşitliğin sol tarafına yerleştirelim.



f’(x2 + 4x) . (2x + 4) = 12x2 + 2x

x = 1 için,

f’(5) . 6 = 12 + 2

f’(5) . 6 = 14

f’(5) = 7
3




Örnek:

y = v2 + 2v

v = 3t + 2

t = 3x2 + 5x


Olduğuna göre,

dy/dx işleminin sonucunu bulunuz.


Çözüm:

Zincir kuralından,

dy
= dy
.dv
.dt
dx
dt
dv
dx





dy = 2v + 2
dv




dv= 3
dt




dt = 6x + 5
dx





v = 3t + 2

t = 3x2 + 5x olduğundan

v = 3(3x2 + 5x) + 2

v = 9x2 + 15x + 2 olur.

dy = 2 . (9x2 + 15x + 2) + 2) . (3) . (6x + 5)
dx




= (18x2 + 30x + 4) . 3 . (6x + 5)

= (54x2 + 90x + 12) . (6x + 5)

= 324x3 + 540x2 + 72x + 270x2 + 450x + 60

= 324x3 + 810x2 + 522x + 60


Üstel Fonksiyonların Türevi

Kapalı Fonksiyonların Türevi


SANATSAL BİLGİ

13/05/2018 

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI