SANATSAL BİLGİ

 BİR KARMAŞIK SAYININ KUVVETİ

Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. De Moivre formülü. Bir karmaşık sayının orijin etrafında döndürülmesiyle meydana gelen sayı. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

De Moivre Teoremi

De Moivre Teoremi, kutupsal biçimde verilmiş bir karmaşık sayının n. ci dereceden kuvvetinin nasıl bulunacağını açıklar.

Z = r(cosϑ + i sinϑ) eşitliğinde her iki tarafın n. ci kuvvetini alırsak,

Zⁿ = rⁿ(cosϑ + i sinϑ)ⁿ olur.

(cosϑ + i sinϑ)ⁿ = cos(n.ϑ) + isin(n.ϑ) olduğundan,

Zⁿ = rⁿ(cosn.ϑ) + i sin(n.ϑ) olur.

Tanım:

Z = r(cosϑ + i sinϑ) bir karmaşık sayı ve n ∈ N⁺ olmak üzere,

Zⁿ = rⁿ(cosn.ϑ) + i sin(n.ϑ)

Örnek:

Z = 3cos30 +3i sin30

Olduğuna göre z⁵ eşitini bulunuz.

Çözüm:

Z = 3(cos30 +i sin30)

Z⁵ = 3⁵(cos30 +i sin30)⁵

= 243[cos(5.30) + isin(5.30]

= 243(cos150 + isin150)

Örnek:

Z = 5 + 5i olduğuna göre z⁴ eşitini hesaplayınız.

Çözüm:

Z sayısını kutupsal forma çevirirsek daha kolay hesaplayabiliriz.

r² = 5² + 5²

r² = 50

r = |z| = 5√2

tanϑ = 5/5

ϑ = tan^-1(1)

ϑ = 45°

Bu durumda kutupsal gösterim,

Z = 5√2(cos45 + i sin45) biçiminde olur. Her iki tarafın 4. Kuvvetini alırsak,

Z⁴ = (5√2)⁴(cos(4.45) + i sin(4.45)

= 2500(cos180 + i sin(180)

= 2500. ( - 1) + i. 0

= -2500

Örnek:

Z₁ = 4sin30 + 4icos30

Z₂ = 2sin120 + 2icos120

Olduğuna göre (z₁)³ + (z₂)³ işleminin sonucu nedir.

Çözüm:

Z₁ = 4sin30 + 4icos30

Sin30 = cos60

Cos30 = sin60 olduğundan,

Z₁ = 4(cos60 + isin60) olur.

(Z₁)³ = 4³.[cos(60.3) + i sin(60.3)]

= 64[cos180 + isin180]

= - 64

(Z₂) = 2sin120 + 2icos120

Sin120 = -cos150

Cos120 = -sin150olduğundan,

Z₂ = -2(cos150 + i sin150) olur.

(Z₂)³ = -8(cos450 + i sin450)

= -8(0 + i )

= - 8i

(Z₁)³ + (Z₂)³ = – 64 – 8i

= -8(8 + i)

Bir Karmaşık Sayının Orijin Etrafında Döndürülmesi

Z = rcosϑ + ri sinϑ

Sayısını orijin etrafında α açısı kadar pozitif yönde(saat yönünün tersi) döndürürsek elde edeceğimiz sayı,

z’ = r.[cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)]

Eğer z sayısını orijin etrafında α açısı kadar sağa döndürürsek elde edeceğimiz yeni sayı,

Z’ = r.[cos(ϑ – α) + i sin(ϑ – α)] olur.

Örnek:

Z = 10(cos50 + i sin50) karmaşık sayısının orijin etrafında 70 derece pozitif yönde döndürülmesiyle elde edilen yeni sayıyı yazınız.

Çözüm:

Sayıyı 70 derece döndürürsek r vektörünün x ekseni ile yaptığı açı 120° olur. r vektörünün büyüklüğü değişmez, ancak yatay ve düşey bileşenleri yani reel ve sanal kısımları değişir.

z’ = 10[cos120 + i sin120] olur.

Şimdi her iki sayıyı standart formda yazalım.

z = 10(cos50 + i sin50)

Cos50 = 0,64

Sin50 = 0,77

z = 10(0,64 + i. (0,77)

= 6,4 + 7,7 i

Şimdi bu sayının 70 derece pozitif yönde döndürülmesi ile meydana gelen z’ sayısını da standart formda yazalım.

Cos120 = - 0,5

Sin120 = 0,87

z’ = 10(-0,5 + i.(0,87)

= - 5 + 8,7 i

Sayının büyüklüğü yani mutlak değeri değişmemesine rağmen yatay ve düşey bileşenlerinin değiştiğini görüyoruz.

Karmaşık Sayılarda Dört İşlem

SANATSAL BİLGİ

26/06/2019