DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ

Belirsiz integraller konusu. İntegral alma yöntemlerinden değişken değiştirme yöntemi. Konu anlatımı ve üslü, köklü, trigonometrik integraller ile ilgili açıklamalı çözümlü sorular.

Karışık integralleri hesaplama yöntemlerinden birisi "değişken değiştirme yöntemi" dir.

g(t) sürekli türevlere sahip ve tersi olan bir fonksiyon olsun.

x = g(t) dönüşümü yapılırsa, dx = g’(t) dt olur. Bu durumda,

∫f(x) dx = ∫f(g(t).g' (t) dt

Olur.

İntegral alındıktan sonra t = g^-1 (x) dönüşümü ile tekrar x değişkenine dönülür.

Burada t yerine u, s, v gibi harfler de kullanılır. Önemli olan değişken değiştirme metodunu kavramaktır.

Kolaydan zora doğru örneklerle gösterelim.

Soru – 1 

Q(x) = ∫(x+12)⁶ dx

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

x + 12 = t olsun.

her iki tarafın türevini alırsak,

dx = dt olur.

Biz integralde x + 12 yerine t yazacağız. dx yerine ise dt yazacağız.

Q(t) = ∫t⁶ dt

Şimdi tekrar x değişkenine döneceğiz.

t = x + 12 idi. Yerine yazalım.

Soru – 2

Q(x) = ∫(4x - 6)⁸ dx

Olduğuna göre Q(x) i hesaplayınız.

Çözüm:

t = 4x – 6 dersek,

dt = 4dx

dx = dt/4

dx yerine dt/4 yazacağız.

t⁸   in integrali t⁹/9 dur.

t = 4x – 6 idi.

Q(x) in türevini alırsanız integral içindeki ifadeyi elde edebiliyor musunuz?

Soru – 3 

Olduğuna göre Q(x) fonksiyonunu bulunuz. 

Çözüm:

Paydadaki terimin türevini alırsak paydaki terimi elde ediyoruz.

Bu durumda paydadaki ifadeye s diyelim.

s = x² + 12x + 7

Her iki tarafın türevini alalım.

ds = 2x + 12 dx olur.

Burada şu ifadeye dikkat edin.

(2x + 12) . dx = ds

Yani paydaki ifade ds nin bir parçası haline gelerek yok oluyor.

Burada integral içinde x² + 12x + 7 ifadesine s, (2x + 12).dx ifadesine de ds diyoruz. İntegral içindeki ifade,

1/s . ds haline geliyor

1/s. ds nin integrali ln|s| + C dir.

Buna göre,

Q(s) = ln|s| + C

s, eşitini yerine koyarsak,

Q(x) = ln|x² + 12x + 7| + C

Olur.

Soru –4 

Olduğuna göre, Q(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

u = lnx + 8 olsun,

lnx + 8 in türevi 1/x olduğundan,

Burada integral içindeki kesrin payında (lnx + 8), paydasında x bulunduğuna dikkat edin. Yani integral içini şu şekilde yazabiliriz.

lnx + 8 = u ve dx/x = du olduğuna göre integral,

∫u⁶ .du haline gelir.

u⁶ nın integrali u⁷ /7 olduğuna göre,

u = lnx + 8 olduğuna göre,

Soru – 5 

Olduğuna göre Q(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

x + 5 = t² olsun.

Her iki tarafın türevini alırsak,

dx = 2t.dt olur.

İntegral içinde dx yerine 2t.dt yazacağız.

√x + 5 = t olacağından integral içi,

= 6t olur.

(x + 5) = t² idi

t = √x + 5 olur. t değerini yerine yazarak x → t dönüşümü yaparız.

Q(x) = 6√x + 5  + C olur.

Q(x) in türevini nasıl alacağınızı biliyor musunuz, dener misiniz?

Soru – 6 

Olduğuna göre, Q(x) fonksiyonunu hesaplayınız.

Çözüm:

e nin üssü durumundaki ifadeden yola çıkalım.

x³ + 3x² + 6x = u diyelim.

(3x² + 6x + 6) dx = du olur.

Bu durumda,

Olur. Bu ifade integral içindeki ifadede bulunan e nin çarpanı du' un paydasındaki sayı ile sadeleşir, geriye e^u du kalır.

e^u nun integrali e^u + C dir.

Q(u) = e^u + C

U eşitini yerine koyalım.

Q(x) = e^{x^3+3x^2+6x}   + C

Değişken değiştirme yöntemi bitmedi. 2. bölümünün linki aşağıdadır. Aşağıdaki linkte daha zor soru tipleri bulunuyor.

Değişken Değiştirme Yöntemi -2

İntegral Alma Formülleri

SANATSAL BİLGİ

01/09/2019