DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ II

İntegral alma yöntemleri. Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma. Üslü, köklü, trigonometrik terimlerden oluşan integrallerin çözülmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Soru – 7

Q(x) = ∫[(cos2 x⁡ - sin2⁡x ).esin2x ]dx


İntegralini hesaplayınız.


Çözüm:

Cos2x – sin2x = cos2x

Bu değeri integralde yerine koyarsak,

Q(x) = ∫(cos2x.esin⁡2x )dx

Eşitliğini elde ederiz.


e nin üssü durumundaki sin2x  ifadesine v diyelim.


v = sin2x

dv = 2cos2x dx

dx = dv
2cos2x




Bu ifadeyi integral içine koyarsak integral içi,

∫cos2x.ev .dv
2cos2x




= ∫ev .dv
2




Bu terimin integrali,

1 ev şeklindedir.
2




v → x dönüşümü yaparsak,

Q(x) = 1 esin2x olur.
2




Aslında yarım açı formülünü ve bazı temel türev eşitliklerini bilmekle hemen çözülecek bir soru ama değişken değiştirme yöntemi her koşulda işe yarıyor.


Soru – 8 

Degisken degistrme11


Olduğuna göre Q(x) integralini hesaplayınız.


Çözüm:

3 + √x = u dersek,

1 dx = du olur. Buradan,
2√x 




dx = 2√x du olur.

Bu değerleri integral içine koyarsak,

Degisken degistrme12


Eşitliğini elde ederiz. Burada√ x ler sadeleşir, geriye 2u6 du ifadesi kalır. Bu terimin integrali,

2.u7/7 dir. u → t dönüşümü yaparak,

Q(x) = 2.(3 + √x)7 + C sonucunu elde ederiz. 
7




Soru – 9 

Degisken degistrme13


Olduğuna göre Q(x) fonksiyonunu bulunuz.


Çözüm:

Paydadaki ifade 62 + (8x)2 şeklindedir.

 x = 6t/8 olarak değişken değişimi yapmalıyız.

x = 6t/8 

dx = 6/8 dt

Bu eşitliği integral içine yazıyoruz.

Degisken degistrme14


Şimdi integral içi,

6 
.1 şeklinde olur.
36(1 + t2)
8




Bu ifadenin integrali,

1arctan t + C şeklindedir. x → t dönüşümü yaparsak,
48




x = 6t/8

t = 8x/6

Q(x) =1 arctan(8x/6) + C olur.
48




Soru – 10

Degisken degistrme15


İntegralini hesaplayınız.


Çözüm:

Pay ve paydayı cos x ile çarpıyoruz.

Degisken degistrme16


Değişken değiştirme yöntemi uyguluyoruz.

Sinx = t

Cosx dx = dt

dx = dt/cosx


Ayrıca cos8x = (1 – sin2x)4 tür. Bunu da yerine yazıyoruz.

Degisken degistrme17


Tekrar değişken değiştirme işlemi yapıyoruz.

u = 1 – t2

du = -2t dt

dt = -du/2t

Degisken degistrme18


Paydaki t3 , du/2t çarpanındaki t ile sadeleşir. Geriye t2 kalır. u = 1 – t2 idi. t2 = u + 1 olur. Bunu yerine yazarız.

Degisken degistrme19


Şimdi bu integrali ikiye bölelim.

Degisken degistrme20


1  ün integrali:
u3




-1 dir.
2u2




1/u4 ün integrali,

-1/3u3 tür.

Buna göre integralimiz,

Q(u) = 1 
+ 1 + C olur.
6u3
4u2





u → t dönüşümünü yapalım.

u = 1 – t2

Degisken degistrme21


t → sinx dönüşümünü yapalım.

Degisken degistrme22



Soru – 11 

Degisken degistrme23


Olduğuna göre, Q(x) fonksiyonunu bulunuz.


Çözüm:

e2x = v olsun.

2.e2x dx = dv


dx =dv olur.
2.e2x 




Bu durumda integral içindeki ifadeye I dersek,

I =e2x 
.dv olur.
2.e2x
1 + e4x 




Pay ve paydadaki e2x ler sadeleşir.

I = dv ifadesi kalır.
2( 1 + v2 )




Bu ifadenin integrali,

Q(v) = arctanv + C
2




v → x dönüşümünü yaparsak,

v = e2x

Q(v) = arctan(e2x ) + C olur.
2





Değişken Değiştirme Yöntemi -1

Kısmi İntegrasyon Yöntemi



SANATSAL BİLGİ

02/09/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI