DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ II
İntegral alma yöntemleri. Değişken değiştirme yöntemi ile integral alma. Üslü, köklü, trigonometrik terimlerden oluşan integrallerin çözülmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Soru – 7
Q(x) = ∫[(cos2 x - sin2x ).esin2x ]dx
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
Cos2x – sin2x = cos2x
Bu değeri integralde yerine koyarsak,
Q(x) = ∫(cos2x.esin2x )dx
Eşitliğini elde ederiz.
e nin üssü durumundaki sin2x ifadesine v diyelim.
v = sin2x
dv = 2cos2x dx
Bu ifadeyi integral içine koyarsak integral içi,
Bu terimin integrali,
v → x dönüşümü yaparsak,
Aslında yarım açı formülünü ve bazı temel türev eşitliklerini bilmekle hemen çözülecek bir soru ama değişken değiştirme yöntemi her koşulda işe yarıyor.
Soru – 8
Olduğuna göre Q(x) integralini hesaplayınız.
Çözüm:
3 + √x = u dersek,
| 1 | dx = du olur. Buradan, |
| 2√x |
dx = 2√x du olur.
Bu değerleri integral içine koyarsak,
Eşitliğini elde ederiz. Burada√ x ler sadeleşir, geriye 2u6 du ifadesi kalır. Bu terimin integrali,
2.u7/7 dir. u → t dönüşümü yaparak,
| Q(x) = 2. | (3 + √x)7 | + C sonucunu elde ederiz. |
| 7 |
Soru – 9
Olduğuna göre Q(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Paydadaki ifade 62 + (8x)2 şeklindedir.
x = 6t/8 olarak değişken değişimi yapmalıyız.
x = 6t/8
dx = 6/8 dt
Bu eşitliği integral içine yazıyoruz.
Şimdi integral içi,
| 6 | | . | 1 | şeklinde olur. | | 36(1 + t2) |
|
| 8 |
Bu ifadenin integrali,
| 1 | arctan t + C şeklindedir. x → t dönüşümü yaparsak, |
| 48 |
x = 6t/8
t = 8x/6
| Q(x) = | 1 | arctan(8x/6) + C olur. |
| 48 |
Soru – 10
İntegralini hesaplayınız.
Çözüm:
Pay ve paydayı cos x ile çarpıyoruz.
Değişken değiştirme yöntemi uyguluyoruz.
Sinx = t
Cosx dx = dt
dx = dt/cosx
Ayrıca cos8x = (1 – sin2x)4 tür. Bunu da yerine yazıyoruz.
Tekrar değişken değiştirme işlemi yapıyoruz.
u = 1 – t2
du = -2t dt
dt = -du/2t
Paydaki t3 , du/2t çarpanındaki t ile sadeleşir. Geriye t2 kalır. u = 1 – t2 idi. t2 = u + 1 olur. Bunu yerine yazarız.
Şimdi bu integrali ikiye bölelim.
1/u4 ün integrali,
-1/3u3 tür.
Buna göre integralimiz,
u → t dönüşümünü yapalım.
u = 1 – t2
t → sinx dönüşümünü yapalım.
Soru – 11
Olduğuna göre, Q(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
e2x = v olsun.
2.e2x dx = dv
Bu durumda integral içindeki ifadeye I dersek,
Pay ve paydadaki e2x ler sadeleşir.
| I = | dv | ifadesi kalır. |
| 2( 1 + v2 ) |
Bu ifadenin integrali,
v → x dönüşümünü yaparsak,
v = e2x
| Q(v) = | arctan(e2x ) | + C olur. |
| 2 |
Değişken Değiştirme Yöntemi -1
Kısmi İntegrasyon Yöntemi
SANATSAL BİLGİ
02/09/2019