Özel Ders

DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

Matematik dersi, trigonometri konusu. Dik üçgende trigonometrik değerlerin hesaplanması. 30 – 60 – 90, ikizkenar dik üçgen ve eşkenar üçgenlerde trigonometrik bağıntıların çıkarılması. Konu anlatımı.

ABC dik üçgenini çizelim.

Dikucgen_trgnmtr1

Bu üçgen için trigonometrik oranları yazalım.

Sinϑ =	Karşı dik kenar
	Hipotenüs

=	c
	a

Cosϑ =	Komşu dik kenar
	Hipotenüs

=	b
	a

Tanϑ =	Karşı dik kenar
	Komşu dik kenar

=	c
	b

Secϑ =	1
	cosϑ

=	a
	b

Cosecϑ =	1
	sinϑ

=	a
	c

Cotϑ =	1
	tanϑ

=	b
	c

Benzer şekilde,

sinα =	b
	a

cosα =	c
	a

tanα =	b
	c

Secα =	a
	c

Cosecα =	a
	b

Cotα =	c
	b

Üçgendeki ϑ ve α açılarının trigonometrik oranlarını dikkatle incelerseniz, aşağıdaki bağıntıyı görebilirsiniz.

Sinϑ = c/a

Cosα= c/a

Sinϑ = cosα

Aynı zamanda,

Cosϑ = b/a

Sinα = b/a

Sinα = cosϑ

ϑ + α = 90° olduğuna göre, birbirini 90° ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

Bu kural tan, cot, cosec, sec fonksiyonları için de geçerlidir. Eşitlikleri inceleyerek bunun doğruluğunu görebilirsiniz.

Birbirini 90°ye tamamlayan iki açıdan birinin tanjantı diğerinin kotanjantına, birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir.

Örnek:

x = cos²25° + cos²56° + cos²65° +cos²34° + tan25° . cot25°

Olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

Cos25° = sin65 olduğundan

cos²25° + sin²65°

Sin²65 + cos²65 = 1

cos²56° = sin²34 olduğundan,

cos²56° + cos²34°

= sin²34 + cos²34

= 1

tanx ve cot x birbirinin tersidir. Bu iki fonksiyonun çarpımı 1 sonucunu verecektir.

Tanx = sinx/cosx

Cotx = cosx/sinx

Olduğundan,

Tanx.cotx = 1 olur.

Buna göre, tan25° . cot25° = 1 dir.

x = 1 + 1 + 1 = 3

30 – 60 – 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

30 – 60 – 90 üçgeninde 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60°in karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının √3 katına eşittir.

Bu eşitlikten yararlanılarak trigonometrik bağıntıları kolayca çıkarılabilir.

Dikucgen_trgnmtr2

Sin30° = 0,5

Cos30° =	√3
	2

Tan30° =	1
	√3

Sec30 =	2
	√3

Cosec30 = 2

Cot30 = √3

Bu değerlerin nasıl çıkarılacağını konu başında anlatmıştık. Takılırsanız en baştaki eşitliklere bakınız.

60° nin trigonometrik bağıntılarını çıkarabilir misiniz? Birbirini 90° ye tamamlayan açılar arasındaki ilişkiden yararlanarak kolayca yapılabilir. sin30 = cos60 ve Sin60 = cos30 olacaktır.

45 – 45 – 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

Dikucgen_trgnmtr3

45 – 45 – 90 üçgeninde dik kenarlar eşittir. Hipotenüs uzunluğu, dik kenarların √2 katıdır.

Sin45 =	√2
	2

cos45 =	√2
	2

Tan45 = 1

Cot45 = 1

Cosec45 = √2

Sec45 = √2

60 – 60 – 60 Üçgeninde Trigonometrik Oranlar

Dikucgen_trgnmtr4

60 – 60 – 60 üçgeninde tüm kenarlar eşittir.Bu üçgende BC kenarına bir dikme inersek, bu dikme hem kenarortay hem açıortay hem de yükseklik olur.

60° lik açılardan birini temel alarak 60° lik açının trigonometrik değerlerini bulalım.

Sin60° =	√3
	2

Cos60° = 0,5

Tan60° = √3

Sec60° = 2

Cosec60 =	2√3
	3

Bu değerleri 30 – 60 – 90 üçgeninden yaralanarak da bulabilirdik. Yukarıda yaptığımız hesaplarla uyum içindedir. Örneğin, cos60 = sin30 olduğuna dikkat edin.

Örnek:

Dikucgen_trgnmtr5