DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR

Matematik dersi, trigonometri konusu. Dik üçgende trigonometrik değerlerin hesaplanması. 30 – 60 – 90, ikizkenar dik üçgen ve eşkenar üçgenlerde trigonometrik bağıntıların çıkarılması. Konu anlatımı.



ABC dik üçgenini çizelim.

Dikucgen_trgnmtr1


Bu üçgen için trigonometrik oranları yazalım.

Sinϑ =Karşı dik kenar
Hipotenüs




=c
a




Cosϑ = Komşu dik kenar
Hipotenüs




= b
a




Tanϑ = Karşı dik kenar
Komşu dik kenar




= c
b




Secϑ =1
cosϑ




=a
b




Cosecϑ = 1
sinϑ




= a
c



Cotϑ = 1
tanϑ




= b
c





Benzer şekilde,

sinα =b
a




cosα =c
a



tanα =b
c





Secα =a
c




Cosecα = a
b




Cotα = c
b




Üçgendeki ϑ ve α açılarının trigonometrik oranlarını dikkatle incelerseniz, aşağıdaki bağıntıyı görebilirsiniz.

Sinϑ = c/a

Cosα= c/a

Sinϑ = cosα

Aynı zamanda,

Cosϑ = b/a

Sinα = b/a

Sinα = cosϑ

ϑ + α = 90° olduğuna göre, birbirini 90° ye tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

Bu kural tan, cot, cosec, sec fonksiyonları için de geçerlidir. Eşitlikleri inceleyerek bunun doğruluğunu görebilirsiniz.

Birbirini 90°ye tamamlayan iki açıdan birinin tanjantı diğerinin kotanjantına, birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir.



Örnek:

x = cos225° + cos256° + cos265° +cos234° + tan25° . cot25° 

Olduğuna göre x kaçtır?


Çözüm:

Cos25° = sin65 olduğundan

cos225° + sin265°

Sin265 + cos265 = 1

cos256° = sin234 olduğundan,

cos256° + cos234°

= sin234 + cos234

= 1

tanx ve cot x birbirinin tersidir. Bu iki fonksiyonun çarpımı 1 sonucunu verecektir.

Tanx = sinx/cosx

Cotx = cosx/sinx

Olduğundan,

Tanx.cotx = 1 olur.


Buna göre, tan25° . cot25° = 1 dir.

x = 1 + 1 + 1 = 3


30 – 60 – 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

30 – 60 – 90 üçgeninde 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60°in karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının √3 katına eşittir.

Bu eşitlikten yararlanılarak trigonometrik bağıntıları kolayca çıkarılabilir.

Dikucgen_trgnmtr2



Sin30° = 0,5

Cos30° =√3
2



Tan30° =1
3



Sec30 = 2
3



Cosec30 = 2

Cot30 = √3


Bu değerlerin nasıl çıkarılacağını konu başında anlatmıştık. Takılırsanız en baştaki eşitliklere bakınız.


60° nin trigonometrik bağıntılarını çıkarabilir misiniz? Birbirini 90° ye tamamlayan açılar arasındaki ilişkiden yararlanarak kolayca yapılabilir. sin30 = cos60 ve Sin60 = cos30 olacaktır.


45 – 45 – 90 Üçgeninin Trigonometrik Oranları

Dikucgen_trgnmtr3


45 – 45 – 90 üçgeninde dik kenarlar eşittir. Hipotenüs uzunluğu, dik kenarların √2 katıdır.

Sin45 =2 
2




cos45 =2
2




Tan45 = 1

Cot45 = 1

Cosec45 = √2

Sec45 = √2


60 – 60 – 60 Üçgeninde Trigonometrik Oranlar

Dikucgen_trgnmtr4


60 – 60 – 60 üçgeninde tüm kenarlar eşittir.Bu üçgende BC kenarına bir dikme inersek, bu dikme hem kenarortay hem açıortay hem de yükseklik olur.


60° lik açılardan birini temel alarak 60° lik açının trigonometrik değerlerini bulalım.


Sin60° = 3
2




Cos60° = 0,5

Tan60° = √3 


Sec60° = 2

Cosec60 = 2√3
3




Bu değerleri 30 – 60 – 90 üçgeninden yaralanarak da bulabilirdik. Yukarıda yaptığımız hesaplarla uyum içindedir. Örneğin, cos60 = sin30 olduğuna dikkat edin.


Örnek:

Dikucgen_trgnmtr5


ABC bir dik üçgen,

|AB| = 4 br

|AC| = b

|BC| = a

Şekildeki ABC üçgeninde cosϑ = √5/3 sinϑ = 2/3 olduğuna göre, a ve b değerlerini bulun.



Çözüm:

Sinϑ = 4
a




4
= 2
3
a




a = 6

Cosα =b
a




b 
= 5 
3
6




b = 2√5



Örnek:

Dikucgen_trgnmtr6


a + b + c = 24 br

tanϑ = 3/ 4  olduğuna göre a, b ve c değerlerini hesaplayın.


Çözüm:

Tanϑ = c
b




Tanϑ = 3 ise,
4




c = 3k, b = 4k olur.

(3k)2 + (4k)2 = a2

a = 5k

a + b + c = 24

12k = 24

k = 2 olur. Buradan, a = 6, b = 8, c = 10 bulunur.



Trigonometrik Fonksiyonlar



SANATSAL BİLGİ

06/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI