DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

Matematik dersi, trigonometri konusu. Dönüşüm formülleri ve bu formüllerin çıkarılması. Cosx + cosy, cosx – cosy, sinx + siny, sinx – siny eşitliklerinin ispatı ve çözümlü örnekler.

1. 

İspatı:

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb (1)

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (2)

Yukarıdaki iki denklemi taraf tarafa toplarsak,

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa.cosb (3)

x ve y adlı iki değişken alalım.

x = a + b 

y = a – b olsun.

x + y = (a + b + a – b)

x + y = 2a

x – y = a + b – a + b

x – y = 2b

x ve y değerlerini (3) denkleminde yerlerine yazalım.

cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa.cosb  

cosx + cosy = cos⁡[(x + y)/2] . cos⁡[(x- y)/2]

Örnek:

İşleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Sin20 = cos70 tir. (1)

Yarım açı formülünden,

1 – 2sin²20 = cos40 tır. 

Buna göre paydaki ifade,

= cos110 . cos40

Paydadaki ifade, cos40 tır.

= cos110°

2. 

İspatı:

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb (1)

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (2)

İki denklemi taraf tarafa çıkaralım.

cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

cos(a + b) – cos(a – b) = cosa.cosb – sina.sinb – cosa.cosb – sina.sinb

cos(a + b) – cos(a – b) = - 2sina.sinb (3)

x ve y adlı iki değişken alalım.

x = a + b 

y = a – b olsun.

x + y = (a + b + a – b)

x + y = 2a

x – y = a + b – a + b

x – y = 2b

x ve y değerlerini (3) denkleminde yerlerine yazalım.

cos(a + b) – cos(a – b) = - 2sina.sinb   

cosx – cosy = -2 sin⁡[(x + y)/2] . sin⁡[(x- y)/2]

Örnek:

İşleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Paydaki ifadeyi yapalım.

Cos170 – cos130 = - 2sin[(170 + 130)/2] . sin[(170 – 130)/2]

= - 2sin150 . sin20

Paydadaki ifadeyi yarım açı formülünden yararlanarak,

2sin10.cos10 = sin(2.10) = sin20

Bu değerleri tekrar yerine yerleştirelim.

 = – 2sin150

sin150 = sin30 = 0,5 tir.

=– 2.0,5

= –1

3. 

İspatı:

Toplam ve Fark formüllerinden,

sin(a+ b) = sina.cosb + sinb.cosa (1)

sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa (2)

1 ve 2’yi alt alta toplarsak,

Sin(a + b) + sin(a – b) = sina.cosb + sinb.cosa + sina.cosb – sinb.cosa

Sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina.cosb (3)

a + b = x

a – b = y olsun.

İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

a + b = x

a – b = y

2a = x + y

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

a + b = x

a – b = y

a + b – a + b = x – y

2b = x – y

Şimdi (3) denkleminde (a + b), (a- b), a ve b değerleri yerine x ve y karşılıklarını yerleştirelim.

Sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina.cosb   

sinx + siny = 2 sin⁡[(x + y)/2] . cos⁡[(x- y)/2]

Örnek:

 işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Paydaki ifadeyi yapalım.

Sin24x + sin16x = 2sin[(24x + 16x)/2] . cos[(24x – 16x)/2]

= 2sin20x . cos4x

Paydadaki ifade için yarım açı formülünü uygulayacağız. (cos2x = cos²x – sin²x)

Cos²2x – sin²2x = cos4x olur. Bu sonuçları yerine yerleştirelim.

= 2sin20x

4. 

İspatı:

Toplam ve Fark formüllerinden,

sin(a+ b) = sina.cosb + sinb.cosa (1)

sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa (2)

(1) ve (2) denklemini taraf tarafa çıkaralım.

Sin(a + b) – sin(a – b) = sina.cosb + sinb.cosa – sina.cosb + sinb.cosa

Sin(a + b) – sin(a – b) = 2sinb.cosa (3)

a + b = x

a – b = y olsun.

İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.

a + b = x

a – b = y

2a = x + y

İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.

a + b = x

a – b = y

a + b – a + b = x – y

2b = x – y

Şimdi (3) denkleminde (a + b), (a- b), a ve b değerleri yerine x ve y karşılıklarını yerleştirelim.

sinx – siny = 2 sin⁡[(x - y)/2] . cos⁡[(x + y)/2]

Örnek:

Sin75 – sin15 sonucu nedir?

Çözüm:

Sin75 – sin15 = 2sin[(75 – 15)/2] . cos[(75 + 15)/2]

= 2sin30 . cos45

Örnek:

İşleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Paydaki ifadeyi düzenleyelim.

Sin10x + sin6x = 2. Sin[(10x + 6x)/2] . cos[(10x – 6x)/2]

= 2sin8x . cos2x   (1)

Paydadaki ifadeyi düzenleyelim.

Cos10x + cos6x = 2.cos[(10x +6x)/2] . cos[(10x – 6x)/2]

= 2.cos8x . cos2x    (2)

Şimdi 1 ve 2 ifadelerini yerlerine koyalım.

= tan8x

Yarım Açı Formülleri

SANATSAL BİLGİ

22/05/2019