DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Matematik dersi, trigonometri konusu. Dönüşüm formülleri ve bu formüllerin çıkarılması. Cosx + cosy, cosx – cosy, sinx + siny, sinx – siny eşitliklerinin ispatı ve çözümlü örnekler.
1.

İspatı:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb (1)
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (2)
Yukarıdaki iki denklemi taraf tarafa toplarsak,
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa.cosb (3)
x ve y adlı iki değişken alalım.
x = a + b
y = a – b olsun.
x + y = (a + b + a – b)
x + y = 2a
x – y = a + b – a + b
x – y = 2b
x ve y değerlerini (3) denkleminde yerlerine yazalım.
cos(a + b) + cos(a – b) = 2cosa.cosb
cosx + cosy = cos[(x + y)/2] . cos[(x- y)/2]
Örnek:

İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Sin20 = cos70 tir. (1)
Yarım açı formülünden,
1 – 2sin220 = cos40 tır.
Buna göre paydaki ifade,

= cos110 . cos40
Paydadaki ifade, cos40 tır.

= cos110°
2.

İspatı:
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb (1)
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (2)
İki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) – cos(a – b) = cosa.cosb – sina.sinb – cosa.cosb – sina.sinb
cos(a + b) – cos(a – b) = - 2sina.sinb (3)
x ve y adlı iki değişken alalım.
x = a + b
y = a – b olsun.
x + y = (a + b + a – b)
x + y = 2a
x – y = a + b – a + b
x – y = 2b
x ve y değerlerini (3) denkleminde yerlerine yazalım.
cos(a + b) – cos(a – b) = - 2sina.sinb
cosx – cosy = -2 sin[(x + y)/2] . sin[(x- y)/2]
Örnek:
| Cos170 – cos130 |
|
2sin10.cos10 |
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Paydaki ifadeyi yapalım.
Cos170 – cos130 = - 2sin[(170 + 130)/2] . sin[(170 – 130)/2]
= - 2sin150 . sin20
Paydadaki ifadeyi yarım açı formülünden yararlanarak,
2sin10.cos10 = sin(2.10) = sin20
Bu değerleri tekrar yerine yerleştirelim.
| Cos170 – cos130 | |
2sin10.cos10 |
= – 2sin150
sin150 = sin30 = 0,5 tir.
=– 2.0,5
= –1
3.

İspatı:
Toplam ve Fark formüllerinden,
sin(a+ b) = sina.cosb + sinb.cosa (1)
sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa (2)
1 ve 2’yi alt alta toplarsak,
Sin(a + b) + sin(a – b) = sina.cosb + sinb.cosa + sina.cosb – sinb.cosa
Sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina.cosb (3)
a + b = x
a – b = y olsun.
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a + b = x
a – b = y
2a = x + y
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
a + b = x
a – b = y
a + b – a + b = x – y
2b = x – y
Şimdi (3) denkleminde (a + b), (a- b), a ve b değerleri yerine x ve y karşılıklarını yerleştirelim.
Sin(a + b) + sin(a – b) = 2sina.cosb
sinx + siny = 2 sin[(x + y)/2] . cos[(x- y)/2]
Örnek:
| Sin24x + sin16x |
|
cos22x – sin22x |
işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Paydaki ifadeyi yapalım.
Sin24x + sin16x = 2sin[(24x + 16x)/2] . cos[(24x – 16x)/2]
= 2sin20x . cos4x
Paydadaki ifade için yarım açı formülünü uygulayacağız. (cos2x = cos2x – sin2x)
Cos22x – sin22x = cos4x olur. Bu sonuçları yerine yerleştirelim.
| Sin24x + sin16x |
|
cos22x – sin22x |
= 2sin20x
4.

İspatı:
Toplam ve Fark formüllerinden,
sin(a+ b) = sina.cosb + sinb.cosa (1)
sin(a – b) = sina.cosb – sinb.cosa (2)
(1) ve (2) denklemini taraf tarafa çıkaralım.
Sin(a + b) – sin(a – b) = sina.cosb + sinb.cosa – sina.cosb + sinb.cosa
Sin(a + b) – sin(a – b) = 2sinb.cosa (3)
a + b = x
a – b = y olsun.
İki eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a + b = x
a – b = y
2a = x + y
İki eşitliği taraf tarafa çıkaralım.
a + b = x
a – b = y
a + b – a + b = x – y
2b = x – y
Şimdi (3) denkleminde (a + b), (a- b), a ve b değerleri yerine x ve y karşılıklarını yerleştirelim.
sinx – siny = 2 sin[(x - y)/2] . cos[(x + y)/2]
Örnek:
Sin75 – sin15 sonucu nedir?
Çözüm:
Sin75 – sin15 = 2sin[(75 – 15)/2] . cos[(75 + 15)/2]
= 2sin30 . cos45
Örnek:
| Sin10x + sin6x |
|
cos10x + cos6x |
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Paydaki ifadeyi düzenleyelim.
Sin10x + sin6x = 2. Sin[(10x + 6x)/2] . cos[(10x – 6x)/2]
= 2sin8x . cos2x (1)
Paydadaki ifadeyi düzenleyelim.
Cos10x + cos6x = 2.cos[(10x +6x)/2] . cos[(10x – 6x)/2]
= 2.cos8x . cos2x (2)
Şimdi 1 ve 2 ifadelerini yerlerine koyalım.
| Sin10x + sin6x | = | 2.sin8x . cos2x |
| 2.cos8x . cos2x |
|
cos10x + cos6x |
= tan8x
Yarım Açı Formülleri
SANATSAL BİLGİ
22/05/2019