FONKSİYONLARIN BÖLÜMÜNÜN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Türevlerde bölme işlemi. İki veya daha fazla fonksiyondan oluşan bölme halindeki ifadelerin türevlerinin alınması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



f ve g iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 olmak üzere,

f(x) fonksiyonunun türevi,
g(x)




[f(x) 
]' =f’(x) . g(x) – g’(x).f(x)
[g(x)]2
g(x)





Örnek:

f(x) =1
x



olduğuna göre f(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

f(x) = 1/x fonksiyonunu g(x) ve h(x) olmak üzere iki fonksiyona ayıralım. Paydaki ifade g(x), paydadaki ifade h(x) olsun.

g(x) = 1

g’(x) = 0

h(x) = x

h’(x) =1

f(x) =g(x)
h(x)




f'(x) =g’(x) . h(x) – h’(x) . g(x)
[h(x)]2




f'(x) =0 - 1
x2




f'(x) = -1 olur.
x2




Örnek:

f(x) =x
x2 + 1




olduğuna göre f(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyonu g(x) ve h(x) olmak üzere ikiye ayırabiliriz.

paydaki ifadeye g(x) diyelim,

g(x) = x olur. 

paydadaki x2 + 1 ifadesi h(x) fonksiyonu olsun,

h(x) = x2 + 1 olur.

Bu durumda,

f(x) = g(x) olur.
h(x)




g’(x) = 1

h’(x) = 2x olur.

 Türev kuralını uygularsak,

f’(x) = 1 . (x2 + 1) – x(2x)
(x2 + 1)2




f’(x) = x2 + 1 – 2x2
(x2 + 1)2





f’(x) = 1 – x2 olur.
(x2 + 1)2




Örnek:

f(x) ve g(x) reel sayılar kümesinde tanımlı iki fonksiyon olmak üzere,

f(x) = x3 + x2 + 3x + 3

g(x) = x2 – x – 2 


y= f(x)
g(x)




Olduğuna göre,

dy/dx işleminin sonucunu bulunuz.


Çözüm:

y = f(x) / g(x)

y= x3 + x2 + 3x + 3
x2 – x – 2




Pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılabiliyor mu bakalım.

x3 + x2 + 3x + 3 = x2(x + 1) + 3(x + 1)

= (x2 + 3)(x + 1)


Paydadaki ifadeyi de inceleyelim.

x2 – x – 2 = (x + 1)( x – 2)

Bu durumda "y" ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.

y= (x2 + 3)(x + 1)
(x + 1)( x – 2)




Sadeleştirme yapılırsa,

y= x2 + 3
x - 2




y'= 2x.(x – 2) – 1.(x2 + 3)
(x – 2)2




y'= 2x2 – 4x – x2 – 3
(x – 2)2




y'= x2 – 4x – 3
(x – 2)2




Olarak bulunur.


Örnek:

h(x) = x3 + x
x2 + 5




Olduğuna göre h’(1) değeri kaçtır?


Çözüm:

h(x) fonksiyonunu iki fonksiyonun bölümü olarak ifade edebiliriz.

h(x) = f(x) olsun, bu durumda,
g(x)




f(x) = x3 + x

f’(x) = 3x2 + 1 olur.

g(x) = x2 + 5

g’(x) = 2x  olur


h’(x) = (3x2 + 1).(x2 + 5) – (2x).(x3 + 2x)
(x2 + 5)2




h’(x) = 3x4 + 15x2 + x2 + 5 – (2x4 + 4x2)
(x2 + 5)2




h’(x) = 3x4 + 15x2 + x2 + 5 – 2x4 – 4x2
(x2 + 5)2




h’(x) = x4 + 12x2 + 5
(x2 + 5)2




h’(1) = 1 + 12 + 5
62




h’(1) = 18
36




h’(1) =1
2




Örnek:

y = x3 + 3x2 + x + 3
2x2 – 3x - 5





olduğuna göre,

dy (1) değeri kaçtır?
dx




Çözüm:


Pay ve paydadaki ifadeleri inceleyerek sadeleşip sadeleşmediklerine bakalım.

x3 + x2 + 3x + 3

= x2(x + 1) + 3(x + 1)

= (x2 + 3) (x + 1)

Paydadaki ifadeyi de inceleyelim.

2x2 – 3x – 5

= (2x – 5)(x + 1)

Pay ve payda çarpanlarına ayrılabilmektedir ve ortak çarpanları vardır.

y = (x2 + 3) (x + 1)
(2x – 5)(x + 1)




Sadeleştirme yaparsak,

y = x2 + 3
2x – 5




(x2 + 3) ifadesini f(x), (2x – 5) ifadesini g(x) gibi düşünebiliriz. Bu durumda,

f’(x) = 2x

g’(x) = 2 şeklinde olur. Şimdi türevi alırsak,

y' = 2x . (2x – 5) – 2.(x2 + 3)
(2x – 5)2




y' = 4x2 – 10x – 2x2 – 6x
(2x – 5)2




y' = 2x2 – 16x
(2x – 5)2




x = 1 için,

y' = 2.1 – 16.1
(2.1 – 5)2




y' = -14
9




Fonksiyonların Çarpımının Türevi




SANATSAL BİLGİ

06/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI