FONKSİYONLARIN BÖLÜMÜNÜN TÜREVİ
Matematik dersi, türevler konusu. Türevlerde bölme işlemi. İki veya daha fazla fonksiyondan oluşan bölme halindeki ifadelerin türevlerinin alınması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
f ve g iki fonksiyon ve g(x) ≠ 0 olmak üzere,
| f(x) | fonksiyonunun türevi, |
| g(x) |
| [ | f(x) | | ]' = | f’(x) . g(x) – g’(x).f(x) |
| | [g(x)]2 |
|
| g(x) |
Örnek:
olduğuna göre f(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
f(x) = 1/x fonksiyonunu g(x) ve h(x) olmak üzere iki fonksiyona ayıralım. Paydaki ifade g(x), paydadaki ifade h(x) olsun.
g(x) = 1
g’(x) = 0
h(x) = x
h’(x) =1
| f'(x) = | g’(x) . h(x) – h’(x) . g(x) |
|
| [h(x)]2 |
Örnek:
olduğuna göre f(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonu g(x) ve h(x) olmak üzere ikiye ayırabiliriz.
paydaki ifadeye g(x) diyelim,
g(x) = x olur.
paydadaki x2 + 1 ifadesi h(x) fonksiyonu olsun,
h(x) = x2 + 1 olur.
Bu durumda,
g’(x) = 1
h’(x) = 2x olur.
Türev kuralını uygularsak,
| f’(x) = | 1 . (x2 + 1) – x(2x) |
|
| (x2 + 1)2 |
| f’(x) = | x2 + 1 – 2x2 |
|
| (x2 + 1)2 |
| f’(x) = | 1 – x2 | olur. |
| (x2 + 1)2 |
Örnek:
f(x) ve g(x) reel sayılar kümesinde tanımlı iki fonksiyon olmak üzere,
f(x) = x3 + x2 + 3x + 3
g(x) = x2 – x – 2
Olduğuna göre,
dy/dx işleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
y = f(x) / g(x)
| y= | x3 + x2 + 3x + 3 |
|
| x2 – x – 2 |
Pay ve paydadaki ifadeler çarpanlarına ayrılabiliyor mu bakalım.
x3 + x2 + 3x + 3 = x2(x + 1) + 3(x + 1)
= (x2 + 3)(x + 1)
Paydadaki ifadeyi de inceleyelim.
x2 – x – 2 = (x + 1)( x – 2)
Bu durumda "y" ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
| y= | (x2 + 3)(x + 1) |
|
| (x + 1)( x – 2) |
Sadeleştirme yapılırsa,
| y'= | 2x.(x – 2) – 1.(x2 + 3) |
|
| (x – 2)2 |
| y'= | 2x2 – 4x – x2 – 3 |
|
| (x – 2)2 |
Olarak bulunur.
Örnek:
Olduğuna göre h’(1) değeri kaçtır?
Çözüm:
h(x) fonksiyonunu iki fonksiyonun bölümü olarak ifade edebiliriz.
| h(x) = | f(x) | olsun, bu durumda, |
| g(x) |
f(x) = x3 + x
f’(x) = 3x2 + 1 olur.
g(x) = x2 + 5
g’(x) = 2x olur
| h’(x) = | (3x2 + 1).(x2 + 5) – (2x).(x3 + 2x) |
|
| (x2 + 5)2 |
| h’(x) = | 3x4 + 15x2 + x2 + 5 – (2x4 + 4x2) |
|
| (x2 + 5)2 |
| h’(x) = | 3x4 + 15x2 + x2 + 5 – 2x4 – 4x2 |
|
| (x2 + 5)2 |
| h’(x) = | x4 + 12x2 + 5 |
|
| (x2 + 5)2 |
Örnek:
| y = | x3 + 3x2 + x + 3 |
|
| 2x2 – 3x - 5 |
olduğuna göre,
Çözüm:
Pay ve paydadaki ifadeleri inceleyerek sadeleşip sadeleşmediklerine bakalım.
x3 + x2 + 3x + 3
= x2(x + 1) + 3(x + 1)
= (x2 + 3) (x + 1)
Paydadaki ifadeyi de inceleyelim.
2x2 – 3x – 5
= (2x – 5)(x + 1)
Pay ve payda çarpanlarına ayrılabilmektedir ve ortak çarpanları vardır.
| y = | (x2 + 3) (x + 1) |
|
| (2x – 5)(x + 1) |
Sadeleştirme yaparsak,
(x2 + 3) ifadesini f(x), (2x – 5) ifadesini g(x) gibi düşünebiliriz. Bu durumda,
f’(x) = 2x
g’(x) = 2 şeklinde olur. Şimdi türevi alırsak,
| y' = | 2x . (2x – 5) – 2.(x2 + 3) |
|
| (2x – 5)2 |
| y' = | 4x2 – 10x – 2x2 – 6x |
|
| (2x – 5)2 |
x = 1 için,
| y' = | 2.1 – 16.1 |
|
| (2.1 – 5)2 |
Fonksiyonların Çarpımının Türevi
SANATSAL BİLGİ
06/05/2018