FONKSİYONLARIN ÇARPIMININ TÜREVİ

Matematik dersi türev konusu. Türevlerde çarpma işlemi. İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımının türevini hesaplama. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Kural:

f ve g fonksiyonları x noktasında türevli iki fonksiyon olmak üzere,

f.g fonksiyonu da x noktasında türevlidir ve bu türev aşağıdaki şekilde hesaplanır.

[f(x) . g(x)]’ = f’(x) . g(x) + g’(x).f(x)

Örnek:

f(x) ve g(x) iki fonksiyon ve

f(x) = 4x⁶ + 3x

g(x) = 2x³

Olduğuna göre,

[f(x) . g(x)]’ fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

istenen, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının çarpımının türevini bulmaktır.

Öncelikle f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevini bulalım.

f(x) fonksiyonunun türevi,

f’(x) = 6.4x^(6-1) + 1.3x^(1-1)

f’(x) = 24x⁵ + 3

g(x) fonksiyonunun türevi,

g’(x) = 2.3x^(3-1)

g’(x) = 6x²

Şimdi türevlerin çarpılması kuralını uygulayarak soruyu çözebiliriz.

[f(x).g(x)]’ = (24x⁵ + 3) . (2x³) + (4x⁶ + 3x) . (6x²)

[f(x).g(x)]’ = 48x⁸ + 6x³ + 24x⁸ + 18x³

[f(x).g(x)]’ = 72x⁸ + 24x³ 

İki fonksiyonun türevlerini almadan çarpıp, çarpımlarının türevini alabilirdik, aynı sonuç olurdu. Ancak bu şekilde hem daha kolay olmakta hem de bazı karışık soruların bu yolla çözülebilmesinden dolayı bu kuralı kavratmak açısından tüm örnekleri türevlerde çarpma kuralına göre yaptık.

Örneğin yukarıdaki örnek için,

f(x) . g(x) = 8x⁹ + 6x⁴

[f(x) . g(x)]’ = 72x⁸ + 24x³

Görüldüğü gibi aynı sonuç çıkmaktadır.

Örnek:

f(x) = x³ – 2x²

g(x) = 4x² – x

fonksiyonları veriliyor.

Bu fonksiyonların çarpımı,

y = f(x) . g(x) şeklindedir.

Buna göre dy/dx sonucunu bulunuz.

Çözüm:

İstenen f ve g fonksiyonlarının çarpımının türevidir.

Önce f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevlerini alıp daha sonra çarpma işleminin türevini bulalım.

f’(x) = 3x² – 4x

g’(x) = 8x – 1

[f(x) . g(x)]’ = (3x² – 4x) . (4x² - x) + (x³ – 2x²).(8x – 1)

[f(x) . g(x)]’ = 12x⁴ – 3x³ – 16x³  +4x² + 8x⁴ – x³ – 16x³ + 2x²

[f(x) . g(x)]’ = 20x⁴ – 36x³ + 6x²

Örnek:

y fonksiyonu rasyonel bir ifadeden meydana gelmektedir.

Olduğuna göre,

Çözüm:

istenen f(x) fonksiyonunun türevidir.

Paydaki sayıyı çarpanlarına ayıralım.

Sadeleştirme yaparsak,

y = x – 1

y’ = 1

Örnek:

h(x) fonksiyonu iki ifadenin çarpımından oluşmaktadır.

h(x) = (x² + 1) (x³ – 2x)

Olduğuna göre bu fonksiyonun türevinin x = 2 için değeri kaçtır?

Çözüm:

İstenen h’(2) değeridir.

h= (x² + 1) (x³ – 2x)

h(x) fonksiyonunu iki fonksiyonun çarpımı gibi düşünebiliriz.

x² + 1 = f(x)

x³ – 2x = g(x) olsun.

h = f(x). g(x) olur. İstenen,

h’(x) = [f(x) . g(x)]’ dir.

f’(x) = 2x

g’(x) = 3x² – 2

h’(x) = 2x(3x² – 2) + (x² + 1)(3x² – 2)

h’(x) = 6x³ – 4x + 3x⁴ – 2x² + 3x² – 2

h’(x) = 3x⁴ + 6x³ + x² – 4x – 2 

h’(2) = 3.2⁴ + 6.2³ + 2² – 4.2 – 2

h’(2) = 48 + 48 + 4 – 8 – 2

h’(2) = 90

Örnek:

f(x) fonksiyonu 4 ifadenin çarpımından meydana gelmektedir.

f(x) = (x – 5)(x – 3)(x + 1)(2x – 1)

olduğuna göre, bu fonksiyonun türevinin x = 5 için değeri,

f’(5) kaçtır?

Çözüm:

Çarpma işlemindeki terimlerden (x – 5) terimini ayıralım, diğerleri g(x) olsun.

f(x) ) = (x – 5)[ (x – 3)(x + 1)(2x – 1)]

[ (x – 3)(x + 1)(2x – 1)] = g(x) dersek,

f’(x) = (x – 5)’.g(x) + g’(x) . (x – 5)

f’(x) = 1. g(x) + g’(x).(x – 5)

x = 5 için,

f’(5) = g(5) + g’(5) . (5 – 5)

f’(5) = g(5)

g(x) = (x – 3)(x + 1)(2x – 1) idi.

x görülen her yere 5 yazarız.

g(5) = (5– 3)(5 + 1)(2.5 – 1)

= 2 . 6 . 9

= 108 olarak bulunur.

Fonksiyonların Toplamının Türevi

Fonksiyonların Bölümünün Türevi

SANATSAL BİLGİ

04/05/2018