FONKSİYONLARIN TOPLAMININ TÜREVİ

Matematik dersi türevler konusu. İki veya daha fazla fonksiyonun türevlerinin toplanması. Ardışık çoklu terimlerin sonlu türevlerinin toplamı. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Kural:

f ve g , A ⊂ R üzerinde tanımlı ve x ϵ A noktasında ayrı ayrı türevleri varsa,

f ve g fonksiyonlarının toplamının türevi aşağıdaki gibi bulunabilir.

[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)

Burada belki farkında olmadan kullandığımız bir özellik görülmektedir.

f(x) = x³ + 5

g(x) = x² olsun.

Bu iki fonksiyonun toplamından oluşan fonksiyona h(x) diyelim.

h(x) = f(x) + g(x)

h(x) = x³ + x² + 5

h(x) fonksiyonu 3 terimden oluşmaktadır. h(x) fonksiyonunun türevini bulmak için her terimin ayrı ayrı türevi alınır

h’(x) = 3x^(3-1) + 2x^(2-1) + 0

h‘(x) = 3x² + 2x 

Bu türev f ve g fonksiyonlarının ayrı ayrı türevlerinin alınıp toplanması ile de bulunabilir.

f(x) = x³ + 5

f’(x) = 3x²

g(x) = x²

g’(x) = 2x

[f(x) + g(x)]’ = 3x² + 2x

Örnek:

f(x) = 7x³ + 5x² + 6

g(x) = 4x³ + 2x² + x + 1

Olduğuna göre,

[f(x) + g(x)]’ fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

f’(x) = 7.3.x^(3-1) + 5.2.x^(2-1)+ 0

f’(x) = 21x² + 10x

g’(x) = 4.3.x^(3-1) + 2.2.x^(2-1) + 1.x^{(1 – 1)}+ 0

g’(x) = 12x² + 4x + 1 + 0

f’(x) + g’(x) = 21x² + 10x + 12x² + 4x + 1

f’(x) + g’(x) = 33x² + 14x + 1

Örnek:

Olduğuna göre,

[f(x) + g(x)]’ fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Örnek:

f(x) = 6x⁵ + 3x³ + 8

g(x) = x⁴ + 5x² + 2x + 1

Olduğuna göre,

[f(x) + g(x)]’ türevini bulunuz.

Çözüm:

Türev alınırken x değişkeninin üssü katsayısı le çarpılır ve kuvveti bir azaltılır.

x değişkeninin bulunmadığı sabit sayıların türevi 0’dır.

f’(x) = 5.6x^{(5 – 1)}+ 3.3x^(3-1) + 0

f’(x) = 30x⁴ + 9x²

g’(x) = 4.x^{(4 – 1)} + 2.5x^{(2 – 1)} + 1.2x^{(1 – 1)}

g’(x) = 4x³ + 5x + 2

f’(x) + g’(x) = 30x⁴ + 9x² + 4x³+ 5x + 2

f’(x) + g’(x) = 30x⁴ + 4x³  + 9x²+ 5x + 2

Örnek:

Olduğuna göre,

f’(1) kaçtır?

Çözüm:

f(x) fonksiyonunu aşağıdaki şekilde yazabiliriz.

f(x) = x^-1 + x^-2 + x^-3 + …+ x^-60

Bu fonksiyonun türevini alalım.

f’(x) = -x ^-2 – 2x^-3 – 3x^-4 – ….– 60x^-61

x = 1 noktasında türev değeri,

f’(1) = -1^-2 – 2.1^-3 – 3.1^-4 - …-60.1^-61

f’(1) = -1 – 2 – 3 - …. – 60

-1’den -60’a kadar olan sayıların toplamı,

Örnek:

f(x) = –x⁵⁰ + x⁴⁹ – x⁴⁸ + …. –x² + x 

Olduğuna göre,

f(x) fonksiyonunun türevini ve f’(-1) değerini bulunuz.

Çözüm:

f(x) fonksiyonunun türevini bulalım.

f’(x) = -50.x⁴⁹ + 49.x⁴⁸ - 48.x⁴⁷ + … - 2.x + 1

x = - 1 değeri için,

f’(-1) = - 50.(-1)⁴⁹ + 49(-1)⁴⁸ - 48(-1)⁴⁷ + … -2(-1) + 1

f’(1) = 50 + 49 + 48 + …+ 2 + 1

1’den 50’ye kadar olan sayıların toplamı,

f’(1) = 1275 olur.

Türev Alma Kuralları

Fonksiyonların Çarpımının Türevi

SANATSAL BİLGİ

03/05/2018