GENİŞ AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

Matematik dersi, trigonometri konusu. Geniş açıların ve negatif açıların trigonometrik değerlerinin bulunması. 150, 210 ve 330 derecenin sinüs, kosinüs ve tanjantının hesaplanması. 


Bir birim çember çizerek bu çemberin bölgelerini belirleyelim. Burada trigonometrik değerlerin eşit olduğu açı değerlerini yazalım.

GenisTrgnmtri1


Birim çemberde bölgelere göre trigonometrik oranların bulunmasında yukarıdaki eşitliklerden yararlanılır.

Bu eşitliklerin nasıl kullanılacağı aşağıda örneklerle anlatılacaktır. Burada bir hatırlatma daha yapalım.

1. Çemberin I. Bölgesinde sinx ve cosx değerlerinin her ikisi de pozitiftir.

2. Çemberin II. bölgesinde sinx pozitif, cosx negatiftir.

3. Çemberin III. bölgesinde sinx ve cosx negatiftir.

4. Çemberin IV. Bölgesinde sinx negatif, cosx pozitiftir.


Tanx, cotx, secx gibi fonksiyonlar sinx ve cosx ile bağıntılı olduklarından işaretleri sinx ve cosx fonksiyonlarının işaretine göre belirlenir.


Örnek:

510° nin sin, cos ve tan değerlerini bulunuz.


Çözüm:

Önce 510° nin kaçıncı bölgede olduğunu saptamalıyız.

510° nin esas ölçüsü,

510 = 360.1 + 150 olduğundan 510° nin esas ölçüsü 150° dir.


0 < 150° <180

Olduğundan 2. Bölgede yer alır.

Sin150 = sin(180 – 30)

= sin30°

Sin30° = 0,5

Cos150 = -cos(180 – 30)

= -cos30°

= - 3
2




Tan150 = sin150/cos150 olduğundan,

Tan150 =  0,5
-√3 
2




= - 1
3 




Örnek:

135° nin sin, cos ve tan değerlerini hesaplayınız.


Çözüm:

135° = 180 – 45 olduğundan sin135, cos135 ve tan135 için 135 değerleri, 45° deki değerlerine eşittir.

Gerekirse bir dik üçgen çizeriz ve üçgen üzerinden bulabiliriz. Eğer aklımızda tutuyorsak üçgen çizmemize gerek kalmaz.

30 – 60 – 90 üçgeni, 45 – 45 – 90 üçgeni, 60 – 60 – 60 üçgeni çizmek kolaydır. Bu nedenle 30, 60, 45, 135, 150 ve 120 derecenin trigonometrik oranlarını hemen bir üçgen çizerek kolayca bulabiliriz. Çok fazla kullanmadığımız zaman bu açıların trigonometrik değerlerini unuturuz. Ancak üçgen çizimini öğrenirsek bunu unutmayız.

Sin135° = Sin45° = √2/2

Cos135° = -cos45° = -√2/2

Tan135° = -tan45° = -1


Örnek:

GenisTrgnmtri2


Şekildeki üçgende 120° nin sin, cos ve tan değerlerini hesaplayınız.


Çözüm:

Üçgen, ikizkenar üçgendir. İkizkenar üçgende açıortay, kenarortay ve yükseklik aynıdır.

GenisTrgnmtri3


120 = 180 – 60 olduğundan, 120° 2. Bölgededir ve trigonometrik oranları işaret dışında 60° ninki ile aynıdır.

Sin120 = sin60 = 10√3/20

Sin120 = √3/2

Cos120 = -cos60 = -10/20

Cos120 = -0,5


Tan120 = sin120/cos120

= -√3


Örnek:

570° nin sin, cos ve tan değerlerini hesaplayınız.


Çözüm:

570 = 360 + 210 olduğundan 570° nin esas ölçüsü 210° dir.

210 = 180 + 30 ve 210° III. bölgede olduğundan, sin ve cos değerleri sin30 ve cos30 değerlerinin negatifine eşittir.

Sin210° = -sin30° = - 0,5

Cos210° = -cos30

= -√3/2

Tan210 = sin210/cos210

= 1/√3


Örnek:

330° nin sin, cos ve tan değerlerini hesaplayınız.


Çözüm:

330 = 360 – 30 ve 330 derece IV. Bölgede yer aldığından,

Sin330 = -sin30

-sin30 = -0,5


Cos330 = cos30

Cos30 = √3/2


Tan330 = sin330/cos330

= -1/√3



Geniş Açılarda Genel Kural

sin(180 – ϑ) = sinϑ

cos(180 – ϑ))= – cosϑ

tan(180 – ϑ) = –tanϑ

sin(180 + ϑ) = –sinϑ

cos(180 + ϑ) = –cosϑ

tan(180 + ϑ) = tanϑ


sin(360 – ϑ) = –sinϑ

cos(360 – ϑ) = cosϑ

tan(360 – ϑ) = –tanϑ


Eğer açı değerini (90 + ϑ) şeklinde alırsanız ϑ için bulduğunuz sinüs değerini kosinüse, kosinüs değerini sinüse çevirmeniz gerekir. 


Örnek:

120° nin sinüs ve kosinüs değerlerini yukarıdaki yoldan bulalım.

120° = 90° + 30° ve 120° II. bölgededir.

Sin30 = 0,5

Cos30 = √3/2 olduğundan,

Cos120 =– 0,5

Sin120 = √3/2 olur.

Bu yaklaşım, (270 – ϑ) ve (270 + ϑ) içinde kullanılır.


Negatif Açının Trigonometirk Oranlarının Bulunması

Negatif bir açının trigonometrik değerinin bulunmasında (360 – ϑ) yaklaşımı kullanılır.

Örnek:

Sin(–ϑ) = sin(360 –ϑ) = –sinϑ

Cos(–ϑ) = cos(360–ϑ) = cosϑ

Tan(–ϑ) = tan(360–ϑ) = –tanϑ


Örnek:

Sin30 + sin(-30) + cos(-120)
sin150 + cos240 – sin(300)




İşleminin sonucunu hesaplayınız.


Çözüm:

Paydaki değerleri bulalım.

Sin30 = 0,5

Sin(- 30) = sin(360 – 30) = -sin30

= - 0,5

Cos(-120) = cos(360 – 120)

= cos120

Cos120 = –cos60 = –0,5

Paydadaki değerleri bulalım.

Sin150 = sin(180 – 30)

=sin30 = 0,5

Cos240 = cos(180 + 60) = -cos60

= –0,5

Sin300 = sin(360 – 60)

= – sin60

= – √3/2


Değerleri yerine yerleştirelim.

Sin30 + sin(-30) + cos(-120)
sin150 + cos240 – sin(300)




=0,5 – 0,5 – 0,5
0,5 – 0,5 – (–√3/2)




=– 0,5
3
2





= –1
3




Trigonometrik Denklemler



SANATSAL BİLGİ

17/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI