İÇBÜKEY VE DIŞBÜKEY FONKSİYONLAR
Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Fonksiyonların iç bükey ve dış bükey olup olmadığının incelenmesi. Türev ile içbükey ve dışbükeylik ilişkisi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Tanım:
f: [a, b] → R, y = f(x) fonksiyonu [a, b] da sürekli ve (a, b) de ikinci türevi mevcut bir fonksiyon olsun.
1. y = f(x) fonksiyonunun grafiği (a, b) nin her noktasındaki teğetlerinin altında kalıyorsa, bu fonksiyonun grafiği içbükey (konkav) dir. Bu durumda fonksiyonun grafiğinin eğrilik yönü aşağı doğrudur.
2. y = f(x) fonksiyonunun grafiği (a, b) nin her noktasındaki teğetlerinin üstünde kalıyorsa bu fonksiyonun grafiği dışbükey (konveks) dir. Bu durumda fonksiyonun grafiğinin eğrilik yönü yukarı doğrudur.
Fonksiyon Grafiklerinin İçbükeylik ve Dışbükeylik Durumunun Türev İle İlişkisi
Bir fonksiyonun 2. Dereceden türevinin işareti, bu fonksiyon grafiğinin şeklini verir.
Teorem:
(a, b) ⊂ A ve f: A → R, y = f(x) fonksiyonu 2. Dereceden türevi alınabilen bir fonksiyon olmak üzere,
∀ x ∈ (a, b) için,
1. f’’(x) < 0 ise f(x) fonksiyonunun grafiği konkavdır. (iç bükey)
2. f’’(x) > 0 ise f(x) fonksiyonunun grafiği konvekstir. (dış bükey)
f: R → R, y = f(x) fonksiyonunun eğrisinin içbükeylik yönünün değiştiği ve sürekli olduğu noktaya fonksiyonun dönüm noktası denir.
Bir fonksiyonun konveks veya konkav olduğu aralıkları bulmak için fonksiyonun 2. Türevi alınır. Bu türev 0’a eşitlenerek kökleri bulunur. Bu köklerin sağında ve solunda fonksiyonun işaretine bakılır. Fonksiyon işareti negatif ise fonksiyon o aralıkta içbükey (konkav), pozitif ise dışbükey (konveks) dir.
Örnek:
f(x) = x3 – 9x2 + 6x – 4 fonksiyonunun konveks ve konkav olduğu aralıkları bulunuz.
Fonksiyonun dönüm noktasını belirleyiniz.
Çözüm:
f(x) = x3 – 9x2 + 6x – 4
f’(x) = 3x2 – 18x + 6
f’’(x) = 6x – 18
Bu fonksiyonu 0’a eşitleyelim.
6x – 18 = 0
x = 3
Fonksiyonun tek kökü olduğundan bu kökün sağında ve solunda test yapacağız.
1. (-∞, 3) aralığı
f’’(-∞) = -6∞ - 18 = -∞
Fonksiyon işareti bu aralıkta negatiftir.
Fonksiyon bu aralıkta negatif olduğundan (-∞, 3) aralığında konkav yani içbükeydir.
2. (3, +∞) aralığı
f’’(+∞) = 6.∞ - 18
= +∞
Fonksiyon işareti bu aralıkta pozitiftir.
Fonksiyon bu aralıkta pozitif olduğundan konveks yani dışbükeydir.
Fonksiyon 3 noktasının solunda ve sağında farklı şekillerde olduğundan 3 noktası fonksiyonun dönüm noktasıdır.
Örnek:
f(x) = x4 + 2x3 – 72x2 + 16x + 24
Fonksiyonunun içbükey ve dışbükey olduğu aralıkları bulunuz.
Fonksiyonun dönüm noktalarını belirleyiniz.
Çözüm:
Fonksiyonun 2. Mertebeden türevini alacağız. Daha sonra bu türevi 0’a eşitleyerek 2. Mertebeden türev ifadesini 0 yapan x değerlerini bulacağız.
f’(x) = 4x3 + 6x2 – 144x + 16
f’’(x) = 12x2 + 12x – 144
12x2 + 12x – 144 = 0
12(x2 + x – 12) = 0
12(x – 3)(x + 4) = 0
x1 = 3
x2 = - 4
Şimdi elimizde (-∞, -4), (-4, 3), (3, +∞) aralıkları var. Fonksiyonun bu aralıktaki işaretlerini inceleyeceğiz.
1. (-∞, -4) aralığı
-∞ dan -4’e kadar olan aralıkta fonksiyonun işaretini almak ve -4'ün sağındaki davranışını anlamak için türev ifadesine -4’ün solunda ve sağında iki değer vermemiz yeterlidir.
x = -∞ için,
f’’(-∞) = 12.(-∞)2 – 12.(-∞) - 144
= +∞
x = 0 için,
f’’(0) = 0 – 0 – 144 = - 144
-4’ün solunda fonksiyon işareti pozitif, sağında negatiftir. O halde fonksiyon (-∞, -4) aralığında dışbükey (konveks) tir.
2. (-4, 3) aralığı
Fonksiyonun bu aralıktaki değerini yukarıda x = 0 yazarak bulmuştuk. Sonuç negatif çıkmaktaydı. Aynı testi x = 1 için de yapabiliriz.
f’’(1) = 12 – 12 – 144
= -144
Fonksiyon (-4, 3) aralığında içbükey (konkavdır)
3. (3, +∞) aralığı
Bu aralıktaki işaretini incelemek için x = ∞ yazabiliriz.
f’’(∞) = 12.∞2 – 12.∞ - 144
= + ∞
Fonksiyon işareti pozitif çıktığından fonksiyon (3, +∞) aralığında dışbükeydir.
Fonksiyon -4 ve 3 noktalarında işaret değiştirdiğinden ve bu noktalarda sürekli olduğundan bu noktalar f(x) fonksiyonunun dönüm noktalarıdır.
Türevin Uygulamaları, Artan ve Azalan Fonksiyonlar
SANATSAL BİLGİ
19/07/2019