İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Matematik 2. dereceden denklemler ve çözüm kümesinin bulunması. 2. Dereceden denklemlerin diskriminantı. Diskriminant ve kök ilişkisi. Çözümlü örnekler.

Bilinmeyen ifadesinin kuvvetinin 2 olduğu bir bilinmeyenli denklemlere, 2. Dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Aşağıda 2. Dereceden denklem örnekleri verilmiştir.

x² + 3x -2 =0

3a² + 4a -9 =0

5y² – 8y +6 =0

2. Dereceden Denklemlerin Tanımı

a, b, c, x ɛ R ve a ≠ 0 olmak üzere

ax² + bx + c = 0 eşitliğine 2. Dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. 

Denklemi sağlayan x reel sayılarına denklemin kökleri, bu köklerden oluşan kümeye ise denklemin çözüm kümesi adı verilir. a, b, c sayılarınada denklemin parametreleri denir.

2. Dereceden Denklemlerin Çözümü

İkinci dereceden denklemler çarpanlarına ayrılabiliyorsa, terim ekleme çıkarma yolu ile çarpanlar şeklinde ifade edilebiliyorsa veya tam kare haline getirilebiliyorsa, bu ifadeler ve çarpanlar tek tek birinci dereceden denklemler gibi ele alınarak çözüm kümesi bulunur. Bunlar haricinde birde 2. Dereceden denklemler için genel formül vardır. Bu genel formüle göre ax² + bx + c şeklindeki denklemin kökleri.

Şeklinde bulunur. Burada kök içerisindeki ifade, denklemin diskriminantı olarak adlandırılır ve ∆ (delta) sembolü ile gösterilir.

 b² -4ac = ∆

∆ ifadesinin alacağı değerlere göre 2. Dereceden denklemler için 3 durum söz konusudur.

1. ∆ >0 ise denklemin birbirinden farklı 2 reel kökü vardır. Bu kökler;

2. ∆= 0 ise denklemin birbirine eşit olan iki reel kökü vardır. Bu kökler;

3. ∆ <0 ise denklemin reel kökü yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir.

Örnek:

3x² – 4x – 7 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

İlk iş olarak denklemin diskriminantını bulup reel kökleri olup olmadığına bakalım.

∆ = b² – 4ac

∆ = 16 – (4.3.(-7))

∆ = 16 + 84

∆ = 100

∆> 0 olduğundan iki reel kök vardır.

x₂ = -1

Örnek:

5x² + 3x – 2 =0

Denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

∆ = b² – 4ac

∆ = 9 – 4.5.(-2)

∆ = 9 + 40

∆ = 49

∆> 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır.

x₂ = -1

Örnek:

x² + 8x + 16 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

∆ = b² – 4ac

∆ = 64 – 4.16.1

∆ = 64- 64

∆ = 0

Olduğundan iki eşit kök vardır.

x₁  = - 4

x₂  = -4

Ç.K = {-4}

Örnek:

3x₂  + 9x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

∆ = b₂  – 4ac

∆ = 81 – 4.3.8

∆ = 81 – 96

∆ = -15

∆ < 0 olduğundan denklemin reel kökleri yoktur.

Ç.K = { Ø}

Örnek:

x²+ 10 + 16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

Bu soruyu farklı bir yöntemle çözelim. Yukarıda verdiğim genel formülden çözülebilir. Ancak ifade çarpanlarına ayrılabiliyorsa daha kısa yoldan çözümü de mümkündür.

x²  + 10 + 16 =0

(x + 2)(x + 8) = 0

Eşitliğin sağlanması için x = -2 veya x = -8 olmalıdır. Anlaşılıyor ki iki farklı reel kök var.

x1 = -8

x2 = -2

Ç.K ={-8,-2}

SANATSAL BİLGİ

11/11/2016