İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

Matematik dersi, integral alma yöntemleri ve kuralları. Sinx, cosx fonksiyonlarının, üslü fonksiyonların ve üstel fonksiyonların integrallerinin alınması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Bazı özel fonksiyonların türevleri belirlenerek baştan verilir ve matematiksel hesaplamalarda bu türevler tekrar hesaplanmaya gerek duyulmadan yerine konularak hesaplamalar yapılır. Örneğin (sinx)’ = cosx gibi. Bu türevlerin integralleri de baştaki fonksiyonu verecektir. Aşağıda bir dizi integral formülü verilmiştir.

1. Üslü Sayının İntegralinin Alınması

Örnek:

G(x) = ∫[x⁸ +6x⁴ - 3x²+( 1/2) ] dx

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

Herbir terimin tek tek integralini alabiliriz.

G(x) = ∫x⁸ dx+ ∫6x⁴ dx +∫-3x² dx +∫( 1/2)  dx

x⁸  teriminin integrali x⁹/9 dur.

6x⁴ teriminin integrali 6x⁵/5 tir.

-3x² teriminin integrali – x³ tür.

1/ 2 teriminin integrali x/2 dir.

Bu terimleri toplarsak G(x) fonksiyonunu elde etmiş oluruz.

G(x) = x⁹/9 + 6x⁵/5 – x³ + x/2

G(x) in sonuna C eklemeyi unutmuyoruz.

G(x) = x⁹/9 + 6x⁵/5 – x³ + x/2 + C

2. Sinx fonksiyonunun integrali

∫sinx dx = -cosx+C

3. Cosx fonksiyonunun integrali

 ∫cosx dx = sinx+C

Örnek:

G(x) = ∫(sinx + cosx + 2sin^2⁡x )dx

Olduğuna göre G(x) i bulunuz.

G(x) in sabit terimi 2/3 olduğuna göre G(45°) değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Sinx teriminin integrali: –cox

Cosx teriminin integrali: sinx

2sin² x dx teriminin integrali: 2sin³x/3cosx

Bu değerleri toplarsak,

C = 2/3 ise,

Sin45 = cos45 = 0,71

= 1/3 + 2/3

= 1

4. Üstel Fonksiyonların İntegrali

  ∫e^x dx = e^x + C

5. 1/x şeklindeki fonksiyonların integrali

 ∫ (1/x)  dx = ln⁡|x|+C

Örnek:

G(x) in sabit terimi 6 olduğuna göre, G(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Terim terim integralleri bulacağız. İntegral içinde birbiri ile toplam veya fark biçimindeki terimlerin her biri ayrı ayrı integraller içine alınıp elde edilen sonuçlar toplanabilmektedir.

e^x in integrali: e^x 

-e^2x in integrali: -e^2x/2

e^3x in integrali: e^3x/3

-1/x in integrali: -lnx

Bu değerleri toplar, sabit terimini de eklersek,

Sonucunu elde ederiz.

6. a^x biçimindeki Fonksiyonların İntegrali

Örnek:

10.5^x  in integralini hesaplayınız.

Çözüm:

a^x in türevi a^x .lna biçiminde idi. Burada bir terim a^x biçiminde integral içinde ise bu terimin türevinin alınmamış ifadesinde lna değerinin payda olarak bulunması gerekir.

Yani 10.5^x teriminin integrali;

7. 1/sin^2x Şeklindeki Fonksiyonların İntegrali

8. 1/cos²x Şeklindeki Fonksiyonların İntegrali

Örnek:

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

Terim terim integrallerini alalım.

5/sin²x teriminin integrali: -5cotx

2/3√1 – x² teriminin integrali: 2/3 . arcsinx

8/cos²x teriminin integrali: 8tanx 

Bu integralleri toplarsak,

11. sinhx Fonksiyonunun İntegrali

∫sinhx dx = coshx+C

14. coshx Fonksiyonunun İntegrali

 ∫coshx dx = sinhx+C

Örnek:

Olduğuna göre G(x) fonksiyonunu bulunuz.

Çözüm:

Terim terim integral alırsak,

∫5sinhx dx = 5coshx

G(x) = 5cos hx + 11arctan x – 4sinhx/6 + C

Örnek:

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

5^x . ln5 teriminin integrali: 5^x

G(x) = 5^x + 2lnx + 2ln√x² – 1 – 2ln x – 2ln√x² + 1

= 5^x + 2ln√x² – 1 – 2ln√x² + 1 + C

Değişken Değiştirme Yöntemi

SANATSAL BİLGİ

28/08/2019