KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Kapalı fonksiyonlar ve kapalı fonksiyonların türevinin alınması ile ilgili kurallar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



x bağımsız değişken ve y x’e bağlı değişken olmak üzere, F(x, y) = 0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.


Örnek:

y = f(x) olmak üzere,

x2 + 3xy + y2 = 0

x3 + 3xy + y2 = 0

4x2 + 5x2y + 3y2 = 0

ifadeleri birer kapalı fonksiyondur.


Bu ifadelerin türevleri çeşitli biçimlerde alınabilmektedir.

1- Eğer bir eşitlikten y kolayca ayrılabiliyorsa, fonksiyon y cinsinden ifade edilerek türevi alınır.


Örnek:

x2 – 2x – y = 0 olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.


Çözüm:

x2 – 2x – y = 0

x2 – 2x = y

y = x2 – 2x

y’ = 2x – 2


2- Bir kapalı fonksiyonda y yerine f(x) yazılarak türev alınabilir.

Örnek:

x2 – 3x + y2 = 0 fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

x2 – 3x + y2 = 0

f2(x) = 3x – x2

KapaliFncturev_K1R1



3- y sabit gibi düşünülerek x’e göre, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre türev alınır.

y sabit gibi düşünülerek x’e göre alınan türev F’x, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre alınan türev F’y olmak üzere,

F’(x, y) = -F’x
F’y 




Bağıntısı ile bulunabilir.



Örnek:

y = f(x) fonksiyonu;

F(x, y) = 3x2y + 2xy3 + x2 + y2 = 0 

eşitliği ile veriliyor.

F’(1, -2) türevini hesaplayınız.


Çözüm:

x’ e göre türev,

F’x = 6xy + 2y3 + 2x

y’ye göre türev,


F’y = 3x2 + 6xy2 + 2y


F’(x, y) = -F’x
F’y




F’(x, y) = -6xy + 2y3 + 2x
x2 + 6xy2 + 2y




F’(1, -2) = -(-12 – 16 + 2)
3 + 24 – 4




F’(1, -2) = 26
23





4- Fonksiyonun x ve y’ye göre türevleri alındıktan sonra y’nin x cinsinden eşiti bulunarak yerine konulur.


y = f(x) fonksiyonu,

3x2 + 5x + y2 – 4 = 0 ile veriliyor.

f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.


Çözüm:

x değişkenine göre türev: 6x + 5

y değişkenine göre türev: 2y

y’ = -F’x
F’y




y’ = -6x + 5
2y




Tekrar başa dönelim ve y’yi x cinsinden bulalım.

3x2 + 5x + y2 – 4 = 0 

y2 = 3x2 + 5x – 4

KapaliFncturev_K1R2


Bu değeri türev ifadesinde yerine koyarsak,

KapaliFncturev_K1R3


Bileşke Fonksiyonların Türevi

Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi



SANATSAL BİLGİ

15/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI