KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ
Matematik dersi, türevler konusu. Kapalı fonksiyonlar ve kapalı fonksiyonların türevinin alınması ile ilgili kurallar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
x bağımsız değişken ve y x’e bağlı değişken olmak üzere, F(x, y) = 0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.
Örnek:
y = f(x) olmak üzere,
x2 + 3xy + y2 = 0
x3 + 3xy + y2 = 0
4x2 + 5x2y + 3y2 = 0
ifadeleri birer kapalı fonksiyondur.
Bu ifadelerin türevleri çeşitli biçimlerde alınabilmektedir.
1- Eğer bir eşitlikten y kolayca ayrılabiliyorsa, fonksiyon y cinsinden ifade edilerek türevi alınır.
Örnek:
x2 – 2x – y = 0 olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.
Çözüm:
x2 – 2x – y = 0
x2 – 2x = y
y = x2 – 2x
y’ = 2x – 2
2- Bir kapalı fonksiyonda y yerine f(x) yazılarak türev alınabilir.
Örnek:
x2 – 3x + y2 = 0 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
x2 – 3x + y2 = 0
f2(x) = 3x – x2

3- y sabit gibi düşünülerek x’e göre, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre türev alınır.
y sabit gibi düşünülerek x’e göre alınan türev F’x, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre alınan türev F’y olmak üzere,
Bağıntısı ile bulunabilir.
Örnek:
y = f(x) fonksiyonu;
F(x, y) = 3x2y + 2xy3 + x2 + y2 = 0
eşitliği ile veriliyor.
F’(1, -2) türevini hesaplayınız.
Çözüm:
x’ e göre türev,
F’x = 6xy + 2y3 + 2x
y’ye göre türev,
F’y = 3x2 + 6xy2 + 2y
F’(x, y) = - | 6xy + 2y3 + 2x |
|
3x2 + 6xy2 + 2y |
F’(1, -2) = - | (-12 – 16 + 2) |
|
3 + 24 – 4 |
4- Fonksiyonun x ve y’ye göre türevleri alındıktan sonra y’nin x cinsinden eşiti bulunarak yerine konulur.
y = f(x) fonksiyonu,
3x2 + 5x + y2 – 4 = 0 ile veriliyor.
f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.
Çözüm:
x değişkenine göre türev: 6x + 5
y değişkenine göre türev: 2y
Tekrar başa dönelim ve y’yi x cinsinden bulalım.
3x2 + 5x + y2 – 4 = 0
y2 = –3x2 – 5x + 4
y = √3x2 - 5x + 4
Bu değeri türev ifadesinde yerine koyarsak,
y' = - | 6x + 5 |
|
√–3x2 – 5x + 4 |
Bileşke Fonksiyonların Türevi
Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi
SANATSAL BİLGİ
15/05/2018