KAPALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Kapalı fonksiyonlar ve kapalı fonksiyonların türevinin alınması ile ilgili kurallar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

x bağımsız değişken ve y x’e bağlı değişken olmak üzere, F(x, y) = 0 denklemiyle verilen bağıntılara kapalı fonksiyon denir.

Örnek:

y = f(x) olmak üzere,

x² + 3xy + y² = 0

x³ + 3xy + y² = 0

4x² + 5x²y + 3y² = 0

ifadeleri birer kapalı fonksiyondur.

Bu ifadelerin türevleri çeşitli biçimlerde alınabilmektedir.

1- Eğer bir eşitlikten y kolayca ayrılabiliyorsa, fonksiyon y cinsinden ifade edilerek türevi alınır.

Örnek:

x² – 2x – y = 0 olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.

Çözüm:

x² – 2x – y = 0

x² – 2x = y

y = x² – 2x

y’ = 2x – 2

2- Bir kapalı fonksiyonda y yerine f(x) yazılarak türev alınabilir.

Örnek:

x² – 3x + y² = 0 fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

x² – 3x + y² = 0

f²(x) = 3x – x²

3- y sabit gibi düşünülerek x’e göre, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre türev alınır.

y sabit gibi düşünülerek x’e göre alınan türev F’x, x sabit gibi düşünülerek y’ye göre alınan türev F’y olmak üzere,

Bağıntısı ile bulunabilir.

Örnek:

y = f(x) fonksiyonu;

F(x, y) = 3x²y + 2xy³ + x² + y² = 0 

eşitliği ile veriliyor.

F’(1, -2) türevini hesaplayınız.

Çözüm:

x’ e göre türev,

F’x = 6xy + 2y³ + 2x

y’ye göre türev,

F’y = 3x² + 6xy² + 2y

4- Fonksiyonun x ve y’ye göre türevleri alındıktan sonra y’nin x cinsinden eşiti bulunarak yerine konulur.

y = f(x) fonksiyonu,

3x² + 5x + y² – 4 = 0 ile veriliyor.

f(x) fonksiyonunun türevini hesaplayınız.

Çözüm:

x değişkenine göre türev: 6x + 5

y değişkenine göre türev: 2y

Tekrar başa dönelim ve y’yi x cinsinden bulalım.

3x² + 5x + y² – 4 = 0 

y² = –3x² – 5x + 4

y = √3x² - 5x + 4   

Bu değeri türev ifadesinde yerine koyarsak,

Bileşke Fonksiyonların Türevi

Mutlak Değer Fonksiyonlarının Türevi

SANATSAL BİLGİ

15/05/2018