KARMAŞIK SAYILAR

Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayıların tanımı ve sanal sayı birimi. i sayısının kuvvetleri. Negatif köklerle işlemler. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Matematikte çeşitli sayı sistemleri vardır bunlar;

Doğal sayılar kümesi: N

Tamsayılar kümesi :Z

Sayma sayıları kümesi: N+

Reel sayılar kümesi: R


Bu sayılar genel olarak matematiksel denklemleri çözmede ve eşitlikleri bulmada yeterlidir. Ama tüm işlemleri çözemezler.

En geniş sayı kümesi olan Reel sayılar kümesinde karesi – olan bir sayı yoktur.

x2 ≠ -1 

x2n ≠ -a

Bu duruma bir çözüm olarak karmaşık sayılar sistemi geliştirilmiştir. Karmaşık sayılar sistemi Reel sayılar kümesini de içine alan en geniş sayı kümesidir.

Karmaşık sayılar bir reel kısım ve bir sanal kısımdan meydana gelir,

Tanım:

i2 = √-1  ve a, b ∈ R olmak üzere

a + bi şeklinde ifade edilen sayılara karmaşık sayılar denir.

Karmaşık sayılara kompleks sayılar da denir.

Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. 


C ={z : z = a + bi  a, b ∈ R}

Buna göre bir karmaşık sayı z = a + bi şeklinde gösterilir. a’ya karmaşık sayının reel kısmı, b’ye ise sanal kısmı denilir.


Örneğin; 15 + 5i sayısı bir karmaşık sayıdır, Reel kısmı 15, sanal kısmı 5’dir,

 20 + 6i sayısı bir karmaşık sayıdır, Reel kısmı 20, sanal kısmı 6’dır.

40 sayısı karmaşık sayıdır. Reel kısmı 40, sanal kısmı 0’dır.

3i sayısı karmaşık bir sayıdır. Reel kısmı 0, sanal kısmı 3’ dür.


Sanal Sayı Birimi

i simgesi √–1   idi. Bu simgenin katlarını inceleyelim.

i = √–1

i2 = (√–1) . (√–1) = –1 

i3= (√–1) . (√–1). (√–1) = –1.√–1 = –i

i4 = (√–1) . (√–1). (√–1). (√–1) = –1. –1 = 1

i5 = i4.i = 1. i= i =  √–1

i6 = i4.i2  = 1.( –1) = –1

i7 = i4.i3 = 1. (– i) = – i

i8 = i4.i4 = 1.1 = 1

i9 = i4.i4.i = i


Buna göre i sayısı 4 farklı değer alabilmektedir; √-1, - 1, 1, - √-1  veya i, - 1, 1, - i 

Bu değerler aşağıdaki gibi genelleştirilebilir.

in = 1, n = 4k (k∈N)

in = i, n = 4k + 1 (k∈N)

in = -1, n = 4k + 2 (k∈N)

in = -i, n = 4k + 3 (k∈N)


Burada i4  = 1 olduğuna dikkat ediniz. 4’e tam bölünebilen üslerde sonuç 1’e eşittir. Sonucu kolayca bulabilmek için üssün 4’e bölümünden kalanı bulmak gerekir.

Örneğin; n = 7 değerine bakalım.

7 = 4.1 + 3 olduğundan,

i7 = i(4.1+3) =i4. i3 = 1.i3 = -i


Örnek: 

i125+ i242 + i260

İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

i125 = i(31.4+1) = 1.i = i

i242 = i(60.4 + 2) = 1.i2 = - 1 

i260 = i(65.4) = 1.1 = 1


Buna göre,

i125 + i242 + i260 = i – 1 + 1 = i


Örnek:

i18 – i-95
i-52




İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

i18 = i(4.4+2) = i2 = - 1

i-92 = i(4.-23) = 1-23 = 1

i-52 = i(4.-13)= 1-13 = 1


Buna göre,

i18 – i-92
i-52




=-1 – 1
1




= - 2


Örnek:

Sanal sayılar kümesinde tanımlı,

-6 . √-8 . √-3 işleminin sonucu nedir?
-1




Çözüm:

i =√ -1

-6 = √6. i

-8 = √8 . i

-3 = √3 . i


-6 . √-8 . √-3 
= 6.8.3 .i3
-1
-1




=144 . i3
i




= 12.i2

= - 12


Örnek:

-54 - √-24
-6




İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

-54 = √54.i = 3√i

-24 = √24 . i = 2√6 i

-6 = √6 . i


-54 - √-24
-6




= 3√6 i + 2√6 i
6i




= 5√6 i
6 i




= 5


Karmaşık Sayılarda 4 İşlem

Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi


SANATSAL BİLGİ

07/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI