KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılışı. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
1. Toplama İşlemi
Z1 = a + bi
Z2 = c + di
Şeklindeki iki karmaşık sayının toplamı,
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Şeklindedir. Yani karmaşık sayılar toplanırken reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.
Örnek:
z1 = 3 + 12i
z2 = 5 + 4i
Olduğunda göre z1 + z2 toplamını bulunuz.
z = z1 + z2
z = (3 + 5) + (12 + 4)i
z = 8 + 16i
Örnek:
z1 = √3 + 6i
z2 = 3√3 + 2i
Olduğuna göre z1 + z2 toplamını bulunuz.
Çözüm:
z = z1 + z2
z = (√3 + 3√3) + (6 + 2)i
z = 4√3 + 8i
2. Çıkarma İşlemi
Çıkarma işleminde karmaşık sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında çıkarılır.
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i
Örnek:
z1 = 12 + 8i
z2 = 5 + 6i
Olduğuna göre z1 – z2 işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
z = z1 – z2
z = (12 – 5) + (8 – 6)i
z = 7 + 2i
Örnek:
z1 = 3 – 12i
z2 = 6 + 5i
Olduğuna göre z1 – z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
z = z1 – z2
z = (3 – 6) + (–12 – 5)i
z = – 3 – 17i
3. Çarpma İşlemi
z1 = a + bi
z2 = c + di
z1.z2 = (a + bi)(c + di)
= ac + adi + bci + bdi2
i2 = -1 olduğundan,
z1.z2 = ac + (ad + bc)i – bd
= (ac – bd) + (ad + bc)i
Çarpma işleminde iki terimli iki polinom çarpılıyormuş gibi çarpma yapılır. İşlem sonunda reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır.
Örnek:
z1 = 4 + 5i
z2 = 3 – 6 i
Olduğuna göre z1.z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
Z = z1.z2
Z =(4 + 5i)(3 – 6i)
Z = 12 – 24i + 15i – 30i2
= 12 – 9i – 30( - 1)
= 42 – 9i
Örnek:
z1 = -5 + 9i
z2 = 3 – 6i
Olduğuna göre z1.z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
z = z1.z2
z = (-5 + 9i)(3 – 6i)
= -15 + 30i + 27i – 54i2
= - 15 + 57i – 54.( - 1)
= 39 + 57i
4. Bölme İşlemi
İki karmaşık sayının bölünürken payda sanal kısımdan kurtarılmalıdır. Bu durumda ortak çarpanlar sadeleştirilir ve pay ve payda, paydadaki ifadenin eşleniği ile çarpılır.
z1 = a + bi
z2 = c + di
Paydayı sanal kısımdan kurtarmak için pay ve payda, paydadaki sayının eşleniği ile çarpılmalıdır.
| z1 | | = | (a + bi)(c – di) |
| | (c + di) (c – di) |
|
| z2 |
Örnek:
z1 = 2 – 5i
z2 = 4 + 2i
Olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
Pay ve paydayı (4 + 2i) nin eşleniği ile çarpacağız.
| z = | (2 – 5i)(4 – 2i) |
|
| (4 + 2i)(4 – 2i) |
| z = | 8 – 4i – 20i + 10i2 |
|
| 16 – 8i + 8i – 4i2 |
Örnek:
z1 = 5 + 2i
z2 = 2 – 6i
Olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
| z = | (5 + 2i)(2 + 6i) |
|
| (2 – 6i)(2 + 6i) |
| z = | 10 + 30i + 4i + 12i2 |
|
| 4 + 12i – 12i – 36i2 |
Bir Karmaşık Sayının Kuvveti (De Moivre Teoremi)
SANATSAL BİLGİ
28/06/2019