KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM

Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin yapılışı. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


1. Toplama İşlemi

Z1 = a + bi

Z2 = c + di 

Şeklindeki iki karmaşık sayının toplamı,

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 

Şeklindedir. Yani karmaşık sayılar toplanırken reel ve sanal kısımları kendi aralarında toplanır.


Örnek:

z1 = 3 + 12i

z2 = 5 + 4i

Olduğunda göre z1 + z2 toplamını bulunuz.


z = z1 + z2

z = (3 + 5) + (12 + 4)i

z = 8 + 16i


Örnek:

z1 = √3 + 6i

z2 = 3√3 + 2i


Olduğuna göre z1 + z2 toplamını bulunuz.


Çözüm:

z = z1 + z2

z = (√3 + 3√3) + (6 + 2)i

z = 4√3 + 8i


2. Çıkarma İşlemi

Çıkarma işleminde karmaşık sayıların reel ve sanal kısımları kendi aralarında çıkarılır.

z1 = a + bi

z2 = c + di

z1 – z2 = (a – c) + (b – d)i


Örnek:

z1 = 12 + 8i

z2 = 5 + 6i

Olduğuna göre z1 – z2 işleminin sonucu nedir?


Çözüm:

z = z1 – z2

z = (12 – 5) + (8 – 6)i

z = 7 + 2i


Örnek:

z1 = 3 – 12i

z2 = 6 + 5i

Olduğuna göre z1 – z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

z = z1 – z2

z = (3 – 6) + (–12 – 5)i

z = – 3 – 17i


3. Çarpma İşlemi

z1 = a + bi

z2 = c + di

z1.z2 = (a + bi)(c + di)

= ac + adi + bci + bdi2

i2  = -1 olduğundan,

z1.z2 = ac + (ad + bc)i – bd 

= (ac – bd) + (ad + bc)i


Çarpma işleminde iki terimli iki polinom çarpılıyormuş gibi çarpma yapılır. İşlem sonunda reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır.

Örnek:

z1 = 4 + 5i

z2 = 3 – 6 i

Olduğuna göre z1.z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

Z = z1.z2

Z =(4 + 5i)(3 – 6i)

Z = 12 – 24i + 15i – 30i2

= 12 – 9i – 30( - 1)

= 42 – 9i


Örnek:

z1 = -5 + 9i

z2 = 3 – 6i

Olduğuna göre z1.z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

z = z1.z2

z = (-5 + 9i)(3 – 6i)

= -15 + 30i + 27i – 54i2

= - 15 + 57i – 54.( - 1)

= 39 + 57i


4. Bölme İşlemi

İki karmaşık sayının bölünürken payda sanal kısımdan kurtarılmalıdır. Bu durumda ortak çarpanlar sadeleştirilir ve pay ve payda, paydadaki ifadenin eşleniği ile çarpılır.

z1 = a + bi

z2 = c + di


z1 
= a + bi
c + di
z2




Paydayı sanal kısımdan kurtarmak için pay ve payda, paydadaki sayının eşleniği ile çarpılmalıdır.


z1 
= (a + bi)(c – di)
(c + di) (c – di)
z2




Örnek:

z1 = 2 – 5i

z2 = 4 + 2i


Olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

z =z1
z2



z =2 – 5i
4 + 2i




Pay ve paydayı (4 + 2i) nin eşleniği ile çarpacağız.

z = (2 – 5i)(4 – 2i)
(4 + 2i)(4 – 2i)




z =8 – 4i – 20i + 10i2
16 – 8i + 8i – 4i2




z =–2 – 24i
16 + 4




z =–2 – 16i
20




z = –1 – 8i
10




Örnek:

z1 = 5 + 2i

z2 = 2 – 6i


Olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

z =z1
z2




z =(5 + 2i)(2 + 6i)
(2 – 6i)(2 + 6i)




z =10 + 30i + 4i + 12i2
4 + 12i – 12i – 36i2




z =-2 + 34i
40




 =-1 + 17i
20




Bir Karmaşık Sayının Kuvveti (De Moivre Teoremi)




SANATSAL BİLGİ

28/06/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI