KARMAŞIK SAYILARDA MUTLAK DEĞER VE UZAKLIK
Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Bir karmaşık sayının mutlak değeri. İki karmaşık sayı arasındaki uzaklığın bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Bir Karmaşık Sayının Mutlak Değeri
Yukarıdaki şekilde reel kısmı a, sanal kısmı b olan bir karmaşık sayı görülüyor. z = a + bi noktası x ve y eksenlerinde yer alan a ve b sayılarının kesişim noktasıdır. Bu noktanın orijine bir uzaklığı vardır. Bu uzaklık Pisagor teoreminden,
z2 = a2 + b2
z = √a2 + b2 olarak bulunur.
Bu değer aynı zamanda z = a + bi karmaşık sayısının mutlak değeridir. Burada mutlak değere büyüklük de diyebiliriz.
Örnek:
z = 6 + 8i sayısının mutlak değerini bulunuz.
Çözüm:
|z| =√62 + 82
= √100
= 10
Örnek:
Z = 5 + 12i sayısının mutlak değerini bulunuz.
Çözüm:
|z| = √52 + 122
|z| = √25 + 144
= √169
= 13
Örnek:
z = 5i sayısının mutlak değerini bulunuz.
Çözüm:
|z| = √0 + 25
= √25
= 5
Karmaşık Sayılarda Mutlak Değer Özellikleri
1. |z1.z2| = |z1|.|z2|
2. |zn| = |z|n
4. z.z = |z|2
Örnek:
Olduğuna göre, |z| yi bulunuz.
Çözüm:
İki Karmaşık Sayı Arasındaki Uzaklık
Yukarıdaki şekilde z1 ve z2 karmaşık sayıları görülmektedir.
Bu iki sayı arasındaki uzaklığı karmaşık sayılardan yararlanarak bulabiliriz.
Yukarıdaki şekilde kırmızı çizginin hipotenüs olduğu dik üçgenin dik kenarlarının c – a ve b – d olduğu açıkça görülebilir. Öyleyse, z1 – z2 – o noktalarının oluşturduğu üçgenin hipotenüsü,
z2 = (c – a)2 + (b – d)2
z = √(c – a)2 + (b – d)2
Olmalıdır.
Bu uzaklık z2 ve z1 karmaşık sayılarının farklarının mutlak değerine eşittir.
z = |z1 – z2|
|z1 – z2| = |(a + bi) – (c + di )|
= |(a – c) + (b – d)i|
|z1 – z2| = √(a – c)2 + (b – d)2
Burada karesini aldığımız zaman a – c veya c – a olmasının bir önemi olmayacaktır.
Örnek:
Karmaşık düzlemde z1 ve z2 sayıları veriliyor.
z1 = 7 + 6i
z2 = 3 – 2i
Olduğuna göre, z1 ile z2 arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
|z1 – z2| = √(7 – 3)2 + (6 – (-2))2
= √42 + 82
= 4√5
Örnek:
Karmaşık düzlemde z1 ve z2 sayıları veriliyor.
z1 = 5 – 2i
z2 = -3 + 6i
z1 ile z2 sayıları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
|z1 – z2| = √(5 – (-3))2 + (-2 – 6i)2
= √82 + (-8)2
= √128
= 8√2
Karmaşık Sayıların Kutupsal Gösterimi
Bir Karmaşık Sayının Kuvveti
SANATSAL BİLGİ
09/07/2019