Özel Ders

KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ

Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. İki karmaşık sayının eşitliği, karmaşık sayıların koordinat sisteminde gösterilmesi. Bir karmaşık sayının eşleniği. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

1. İki Karmaşık Sayının Eşitliği

Bir karmaşık sayı a + bi şeklinde bir sayıdır. a’ya sayının reel kısmı, b’ye ise imaginer kısmı deniliyordu. İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için reel ve sanal kısımlarının karşılıklı eşit olması gerekir.

Örneğin; (3 + 5i) sayısının eşiti yine (3 + 5i) dir.

Örnek:

a + 4i = 21 + bi

olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?

Çözüm:

İki karmaşık sayı eşit ise reel ve sanal kısımları karşılıklı eşit olmalıdır.

a = 21

b = 4

a + b = 25’tir.

Örnek:

x – 4 + 12i = 6 – x + (3 – y)i

olduğuna göre x.y kaçtır?

Çözüm:

x – 4 = 6 – x

2x = 10

x = 5’tir.

12 = 3 – y

9 = -y

y = - 9 dur.

Buna göre x.y = 5.(-9) = - 45’tir.

Örnek:

6 + (– x + 3)i⁶ = 6 + (– 3x + 5)i²⁴

Olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm:

i⁶ = i^{(4.1 + 2)} = i² = - 1

i²⁴ = i^(4.6) = i⁴ = 1

Buna göre,

(-x + 3).(-1) = (-3x + 5).1

x -3 = -3x + 5

4x = 8

x = 2

Karmaşık Düzlem

Karmaşık sayıların x, y koordinat sistemindeki gösterimine karmaşık düzlem denir.

Karmaşık düzlemde reel kısım x ekseninde, sanal kısım y ekseninde gösterilir.

Karmasik_esitlik1

Örnek:

z1 = 6 + 3i

z2 = 12 – 5i

z3 = -4 + 2i

z4 = - 5 – 5i

Karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz.

Çözüm:

Karmasik_esitlik2

Bir Karmaşık Sayının Eşleniği

a + bi şeklindeki bir karmaşık sayının eşleniği a – bi sayısıdır. Eşleniği bulmak için sanal kısmın negatifini almak yeterlidir. Bir karmaşık sayının eşleniği bu sayının reel eksene (x ekseni) göre simetriğidir.

Örnek:

12 – 3i sayısının eşleniğini yazınız.

Çözüm:

12 – 3i sayısının eşleniği 12 – (–3)i

= 12 + 3i dir.

Örnek:

z = 2 + 2i → Ž = 2 – 2i

z = 12 – 6i → Ž = 12 + 6i

z = - 9 – 3i → Ž = – 9 + 3i

z = √16 + 17i → Ž = √16 – 17i

z = -10 + 5i → Ž = - 10 – 5i

z = i → Ž = – i