KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLERİ

Bir karmaşık sayının n. ci dereceden köklerini bulmak. Standart veya kutupsal biçimde verilmiş bir karmaşık sayının köklerinin bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Sıfırdan farklı bir z = r(cosϑ + isinϑ) sayısının n. dereceden n tane kökü vardır. Bu kökler karmaşık düzlemde merkezi orijinde olan

Yarıçaplı bir çember üzerinde eşit aralıklarla sıralanırlar. Yarıçaplar arasındaki açı 360/n dir.

Tanım:

z ∈ C olmak üzere zⁿ = w eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarına w’nin n. ci kuvvetten kökleri denir. 

zⁿ = w eşitliğini sağlayan kökler,

Eşitliği ile gösterilir.

Karmaşık bir z sayısı aşağıdaki formda yazılabilmektedir.

z = r[cos(ϑ + k.360 + i sin(ϑ + k.360)]

Burada k yerine çeşitli doğal sayı değerleri verebiliriz. Bu eşitliği k’ya göre genellersek,

z_k = r[cos(ϑ + k.360 + i sin(ϑ + k.360)] olur.

Bu eşitlikte r = |z| dir.

z = r(cosϑ + i sinϑ) denkleminin kökleri,

r = |z| olmak üzere,

Bu eşitlikte k ∈ {0, 1, 2, 3, … , (n – 1)} dir.

Örnek:

z = 64[cos140 + i sin140]

karmaşık sayısının 2. dereceden köklerini bulunuz.

Çözüm:

z = 64[cos140 + i sin140]

 z = 64[cos(140 + k.360) + i sin(140 + k.360)

W_k = 8[cos(70 + 180k) + i sin(70 + 180k)]

k = 0 için

w₀ = 8(cos70 + i sin70)

k = 1 için,

w₁ = 8(cos250 + i sin250)

Bir karmaşık sayının kökleri yarıçapı r birim olan bir çember üzerinde birbirlerine eşit mesafede konumlanırlar. Aralarındaki açı 360/n dir. n = 2 için bu açı 180 derecedir.

Örnek:

z = 216[cos300 + i sin300)

Karmaşık sayısının 3. Dereceden köklerini hesaplayınız.

Çözüm:

W_k = 6[cos(100 + k.120) + i sin(100 + k.120)]

k = 0 için,

w₀ = 6(cos100 + i sin100)

k = 1 için,

w₁ = 6(cos220 + i sin220)

k = 2 için,

w₂ = 6(cos340 + i sin340)

Karmaşık sayılarda bazen r.cisϑ ifadesi kullanılır.

r(cosϑ + i sinϑ) =r. cisϑ

eşitliği vardır. cis ifadesi kısaltma amaçlı kullanılır.

w₂ kökünü cis kullanarak yazalım.

w₂ = 6.cis340° 

Örnek:

z = 100 – 173 i

Olduğuna göre z sayısının 3. Dereceden köklerini hesaplayınız.

Çözüm:

Sayıyı kutupsal biçime getirelim. Bunun için önce argümentini ve büyüklüğünü bulalım.

Arg(z) = tan^-1(- 173/100)

Arg(z) = 240°

r = |z| = √(10000 + 29929) 

r = 200

Sayının kutupsal gösterimi,

z = 200(sin240 + i sin240) şeklinde olur.

Bu sayının 3. Dereceden köklerini bulalım.

w_k = 5,8 [cos(80 + k.120) + i sin(80 + k.120)]

k = 0 için,

w₀ = 5,8[cos80 + i sin80]

k = 1 için,

w₁ = 5,8[cos200 + i sin200]

k = 2 için,

w₂ = 5,8(cos320 + i sin320)

Bir Karmaşık Sayının Kuvveti

SANATSAL BİLGİ

03/07/2019