KARMAŞIK SAYILARIN KÖKLERİ
Bir karmaşık sayının n. ci dereceden köklerini bulmak. Standart veya kutupsal biçimde verilmiş bir karmaşık sayının köklerinin bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Sıfırdan farklı bir z = r(cosϑ + isinϑ) sayısının n. dereceden n tane kökü vardır. Bu kökler karmaşık düzlemde merkezi orijinde olan

Yarıçaplı bir çember üzerinde eşit aralıklarla sıralanırlar. Yarıçaplar arasındaki açı 360/n dir.
Tanım:
z ∈ C olmak üzere zn = w eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarına w’nin n. ci kuvvetten kökleri denir.
zn = w eşitliğini sağlayan kökler,

Eşitliği ile gösterilir.
Karmaşık bir z sayısı aşağıdaki formda yazılabilmektedir.
z = r[cos(ϑ + k.360 + i sin(ϑ + k.360)]
Burada k yerine çeşitli doğal sayı değerleri verebiliriz. Bu eşitliği k’ya göre genellersek,
zk = r[cos(ϑ + k.360 + i sin(ϑ + k.360)] olur.
Bu eşitlikte r = |z| dir.
z = r(cosϑ + i sinϑ) denkleminin kökleri,
r = |z| olmak üzere,

Bu eşitlikte k ∈ {0, 1, 2, 3, … , (n – 1)} dir.
Örnek:
z = 64[cos140 + i sin140]
karmaşık sayısının 2. dereceden köklerini bulunuz.
Çözüm:
z = 64[cos140 + i sin140]
z = 64[cos(140 + k.360) + i sin(140 + k.360)

Wk = 8[cos(70 + 180k) + i sin(70 + 180k)]
k = 0 için
w0 = 8(cos70 + i sin70)
k = 1 için,
w1 = 8(cos250 + i sin250)

Bir karmaşık sayının kökleri yarıçapı r birim olan bir çember üzerinde birbirlerine eşit mesafede konumlanırlar. Aralarındaki açı 360/n dir. n = 2 için bu açı 180 derecedir.
Örnek:
z = 216[cos300 + i sin300)
Karmaşık sayısının 3. Dereceden köklerini hesaplayınız.
Çözüm:

Wk = 6[cos(100 + k.120) + i sin(100 + k.120)]
k = 0 için,
w0 = 6(cos100 + i sin100)
k = 1 için,
w1 = 6(cos220 + i sin220)
k = 2 için,
w2 = 6(cos340 + i sin340)
Karmaşık sayılarda bazen r.cisϑ ifadesi kullanılır.
r(cosϑ + i sinϑ) =r. cisϑ
eşitliği vardır. cis ifadesi kısaltma amaçlı kullanılır.
w2 kökünü cis kullanarak yazalım.
w2 = 6.cis340°
Örnek:
z = 100 – 173 i
Olduğuna göre z sayısının 3. Dereceden köklerini hesaplayınız.
Çözüm:
Sayıyı kutupsal biçime getirelim. Bunun için önce argümentini ve büyüklüğünü bulalım.
Arg(z) = tan-1(- 173/100)
Arg(z) = 240°
r = |z| = √(10000 + 29929)
r = 200
Sayının kutupsal gösterimi,
z = 200(sin240 + i sin240) şeklinde olur.
Bu sayının 3. Dereceden köklerini bulalım.

wk = 5,8 [cos(80 + k.120) + i sin(80 + k.120)]
k = 0 için,
w0 = 5,8[cos80 + i sin80]
k = 1 için,
w1 = 5,8[cos200 + i sin200]
k = 2 için,
w2 = 5,8(cos320 + i sin320)
Bir Karmaşık Sayının Kuvveti
SANATSAL BİLGİ
03/07/2019