KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL GÖSTERİMİ

Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatların belirlenmesi. Karmaşık sayıların kutupsal biçimde gösterilmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Kutupsal Gösterim

Karmasik_kutupsal1


Şekilde karmaşık düzlemde bir z = a + bi sayısı gösterilmiştir. Bu sayının orijine uzaklığı r birimdir. Mutlak değer konusundan hatırlarsanız bu uzaklık aynı zamanda bu karmaşık sayının mutlak değerine eşitti.

|z| = r = √a2 + b2 dir.

Burada bir de ϑ açısı var. Bu açı r uzunluğu ile reel eksen arasındaki açıdır.

ϑ açısına karmaşık sayının argümenti denir ve arg(z) = ϑ biçiminde gösterilir.

k bir tamsayı olmak üzere bir karmaşık sayının argümenti,

arg(z) = ϑ + k.2π

Şeklindedir. 360° den büyük açılar için esas açıya bakılır. Örneğin; 365° = 5 + 360 = π/36 + 1.2π şeklindedir. Burada esas ölçü 5° dir.


r ve ϑ ikilisine z karmaşık sayısının kutupsal koordinatları denir ve (r, ϑ) biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatlar denilince ne anlarız? Kutupsal koordinatları (r, ϑ) olan bir karmaşık sayıyı,

z = r(cosϑ + isinϑ) şeklinde yazabiliriz.


Argümentin Özellikleri

1. İki karmaşık sayı çarpıldığında bu sayıların açısı toplanarak çarpım açısına yazılır.

arg(z1) = ϑ ve arg(z2) = α olmak üzere,

Arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2

= ϑ+ α


2. İki karmaşık sayı bölündüğünde bu sayıların açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.

arg(z1) = ϑ ve arg(z2) = α olmak üzere,

arg(z1/z2) = arg(z1) – arg(z2)

= ϑ – α 


3. Bir karmaşık sayının n. ci kuvvetini alırsak, sayının açısını n ile çarparız.

Arg(z1) = ϑ olmak üzere,

Arg(z1)n = n.arg(z1) = n.ϑ


Karmasik_kutupsal2


Yukarıdaki karmaşık sayının oluşturduğu dik üçgen için trigonometrik değerleri yazalım.

ϑ açısının sinüsünü yazalım.

Sinϑ = b/r

ϑ açısının kosinüsü

cosϑ = a/r

ϑ açısının tanjantı,

tanϑ = b/a dır.


Sinüs ve kosinüs eşitliklerini ele alalım.

Sinϑ = b/r

b = r.sinϑ olur. sanal kısım r.sinϑ dır.

cosϑ = a/r

a = r.cosϑ olur. Reel kısım r.cosϑ dır.


Bu durumda,

Z = a + bi

Z = r.cosϑ + r.sinϑ i

= r(cosϑ + i sinϑ) olur.


Bu gösterime kutupsal gösterim denir. cosϑ + sinϑ değerine cis denilmektedir. Yukarıdaki eşitlik kısaca z = r.cisϑ biçiminde gösterilebilir.

Kutupsal gösterimin bir diğer formu aşağıdaki biçimdedir.

z = r(cosϑ + i sinϑ) ise,

Karmasik_kutupsal3


Örneğin,

V = Vm sin90 ise,

Karmasik_kutupsal4


Bu durumda,

V = Vm.cos90 + Vm.sin90 i

= i.Vm olur.


Örnek:

z = 2 + (√2)i 

Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.


Çözüm:

z = a + bi biçimindeki bir karmaşık sayı için,

r = √a2 + b2 dir.

r = √4 + 2

r = √

Sinϑ = b/r

Sinϑ = 2
6




= 3   


3




ϑ = sin-1(√3/3)

ϑ = 35°

z sayısının kutupsal koordinatları 

(r, ϑ) = (√6, 35°)

Kutupsal gösterimi,

z = √6(cos35 + i.sin35)


z = √6 |35°


Örnek:

z = 8 + 6i 

Karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.


Çözüm:

r = |z| = √82 + 62

r = √100 = 10


sinϑ = b/r

= 6/10

= 0,6

ϑ = sin-1(0,6)

= 37°

Z nin kutupsal koordinatları,

(r, ϑ) = (10, 37°)


Z’nin kutupsal gösterimi,

Z = 10(cos37 + i.sin37)

z = 10 |37°


Örnek:

z = 3 – 4i 

Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyiniz. Sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.


Çözüm:

r = √32 + 42

= √25 = 5


Sinϑ = -4/5

Sinϑ = - 0,8

ϑ = sin-1(- 0,8) 

ϑ = - 53°

ϑ = 360 – 53 = 307°


z sayısının kutupsal koordinatları

(r, ϑ) = (5, 307°)



z = a – bi sayısında b negatif, a pozitif olduğundan z nin görüntüsü 4. Bölgede oluşacaktır. Bu bölgedeki açılar için sin(360 – ϑ) = - sinϑ ilişkisi vardır.

Diğer karmaşık sayılar için de benzer durum geçerlidir. Bulundukları bölge ve açıları kolayca tespit edilebilir.

Örneğin; - a + bi karmaşık sayısında a negatif, b pozitiftir. Bu sayının görüntüsü 2. Bölgede oluşacaktır. ϑ açısı için sin(180 – ϑ) = sinϑ ilişkisi vardır. cos(180 – ϑ) = - cosϑ dır.

A ve b’nin her ikisi de negatif ise görüntü 3. Bölgede oluşacaktır.


Karmaşık Sayıların Kökleri



SANATSAL BİLGİ

04/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI