KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL GÖSTERİMİ
Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatların belirlenmesi. Karmaşık sayıların kutupsal biçimde gösterilmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Kutupsal Gösterim

Şekilde karmaşık düzlemde bir z = a + bi sayısı gösterilmiştir. Bu sayının orijine uzaklığı r birimdir. Mutlak değer konusundan hatırlarsanız bu uzaklık aynı zamanda bu karmaşık sayının mutlak değerine eşitti.
|z| = r = √a2 + b2 dir.
Burada bir de ϑ açısı var. Bu açı r uzunluğu ile reel eksen arasındaki açıdır.
ϑ açısına karmaşık sayının argümenti denir ve arg(z) = ϑ biçiminde gösterilir.
k bir tamsayı olmak üzere bir karmaşık sayının argümenti,
arg(z) = ϑ + k.2π
Şeklindedir. 360° den büyük açılar için esas açıya bakılır. Örneğin; 365° = 5 + 360 = π/36 + 1.2π şeklindedir. Burada esas ölçü 5° dir.
r ve ϑ ikilisine z karmaşık sayısının kutupsal koordinatları denir ve (r, ϑ) biçiminde gösterilir.
Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatlar denilince ne anlarız? Kutupsal koordinatları (r, ϑ) olan bir karmaşık sayıyı,
z = r(cosϑ + isinϑ) şeklinde yazabiliriz.
Argümentin Özellikleri
1. İki karmaşık sayı çarpıldığında bu sayıların açısı toplanarak çarpım açısına yazılır.
arg(z1) = ϑ ve arg(z2) = α olmak üzere,
Arg(z1.z2) = arg(z1) + arg(z2)
= ϑ+ α
2. İki karmaşık sayı bölündüğünde bu sayıların açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.
arg(z1) = ϑ ve arg(z2) = α olmak üzere,
arg(z1/z2) = arg(z1) – arg(z2)
= ϑ – α
3. Bir karmaşık sayının n. ci kuvvetini alırsak, sayının açısını n ile çarparız.
Arg(z1) = ϑ olmak üzere,
Arg(z1)n = n.arg(z1) = n.ϑ

Yukarıdaki karmaşık sayının oluşturduğu dik üçgen için trigonometrik değerleri yazalım.
ϑ açısının sinüsünü yazalım.
Sinϑ = b/r
ϑ açısının kosinüsü
cosϑ = a/r
ϑ açısının tanjantı,
tanϑ = b/a dır.
Sinüs ve kosinüs eşitliklerini ele alalım.
Sinϑ = b/r
b = r.sinϑ olur. sanal kısım r.sinϑ dır.
cosϑ = a/r
a = r.cosϑ olur. Reel kısım r.cosϑ dır.
Bu durumda,
Z = a + bi
Z = r.cosϑ + r.sinϑ i
= r(cosϑ + i sinϑ) olur.
Bu gösterime kutupsal gösterim denir. cosϑ + sinϑ değerine cis denilmektedir. Yukarıdaki eşitlik kısaca z = r.cisϑ biçiminde gösterilebilir.
Kutupsal gösterimin bir diğer formu aşağıdaki biçimdedir.
z = r(cosϑ + i sinϑ) ise,

Örneğin,
V = Vm sin90 ise,

Bu durumda,
V = Vm.cos90 + Vm.sin90 i
= i.Vm olur.
Örnek:
z = 2 + (√2)i
Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.
Çözüm:
z = a + bi biçimindeki bir karmaşık sayı için,
r = √a2 + b2 dir.
r = √4 + 2
r = √6
Sinϑ = b/r
ϑ = sin-1(√3/3)
ϑ = 35°
z sayısının kutupsal koordinatları
(r, ϑ) = (√6, 35°)
Kutupsal gösterimi,
z = √6(cos35 + i.sin35)
z = √6 |35°
Örnek:
z = 8 + 6i
Karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.
Çözüm:
r = |z| = √82 + 62
r = √100 = 10
sinϑ = b/r
= 6/10
= 0,6
ϑ = sin-1(0,6)
= 37°
Z nin kutupsal koordinatları,
(r, ϑ) = (10, 37°)
Z’nin kutupsal gösterimi,
Z = 10(cos37 + i.sin37)
z = 10 |37°
Örnek:
z = 3 – 4i
Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyiniz. Sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.
Çözüm:
r = √32 + 42
= √25 = 5
Sinϑ = -4/5
Sinϑ = - 0,8
ϑ = sin-1(- 0,8)
ϑ = - 53°
ϑ = 360 – 53 = 307°
z sayısının kutupsal koordinatları
(r, ϑ) = (5, 307°)
z = a – bi sayısında b negatif, a pozitif olduğundan z nin görüntüsü 4. Bölgede oluşacaktır. Bu bölgedeki açılar için sin(360 – ϑ) = - sinϑ ilişkisi vardır.
Diğer karmaşık sayılar için de benzer durum geçerlidir. Bulundukları bölge ve açıları kolayca tespit edilebilir.
Örneğin; - a + bi karmaşık sayısında a negatif, b pozitiftir. Bu sayının görüntüsü 2. Bölgede oluşacaktır. ϑ açısı için sin(180 – ϑ) = sinϑ ilişkisi vardır. cos(180 – ϑ) = - cosϑ dır.
A ve b’nin her ikisi de negatif ise görüntü 3. Bölgede oluşacaktır.
Karmaşık Sayıların Kökleri
SANATSAL BİLGİ
04/07/2019