KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL GÖSTERİMİ

Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatların belirlenmesi. Karmaşık sayıların kutupsal biçimde gösterilmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Kutupsal Gösterim

Şekilde karmaşık düzlemde bir z = a + bi sayısı gösterilmiştir. Bu sayının orijine uzaklığı r birimdir. Mutlak değer konusundan hatırlarsanız bu uzaklık aynı zamanda bu karmaşık sayının mutlak değerine eşitti.

|z| = r = √a² + b² dir.

Burada bir de ϑ açısı var. Bu açı r uzunluğu ile reel eksen arasındaki açıdır.

ϑ açısına karmaşık sayının argümenti denir ve arg(z) = ϑ biçiminde gösterilir.

k bir tamsayı olmak üzere bir karmaşık sayının argümenti,

arg(z) = ϑ + k.2π

Şeklindedir. 360° den büyük açılar için esas açıya bakılır. Örneğin; 365° = 5 + 360 = π/36 + 1.2π şeklindedir. Burada esas ölçü 5° dir.

r ve ϑ ikilisine z karmaşık sayısının kutupsal koordinatları denir ve (r, ϑ) biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda kutupsal koordinatlar denilince ne anlarız? Kutupsal koordinatları (r, ϑ) olan bir karmaşık sayıyı,

z = r(cosϑ + isinϑ) şeklinde yazabiliriz.

Argümentin Özellikleri

1. İki karmaşık sayı çarpıldığında bu sayıların açısı toplanarak çarpım açısına yazılır.

arg(z₁) = ϑ ve arg(z₂) = α olmak üzere,

Arg(z₁.z₂) = arg(z₁) + arg(z₂) 

= ϑ+ α

2. İki karmaşık sayı bölündüğünde bu sayıların açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.

arg(z₁) = ϑ ve arg(z₂) = α olmak üzere,

arg(z1/z2) = arg(z₁) – arg(z₂)

= ϑ – α 

3. Bir karmaşık sayının n. ci kuvvetini alırsak, sayının açısını n ile çarparız.

Arg(z1) = ϑ olmak üzere,

Arg(z₁)ⁿ = n.arg(z₁) = n.ϑ

Yukarıdaki karmaşık sayının oluşturduğu dik üçgen için trigonometrik değerleri yazalım.

ϑ açısının sinüsünü yazalım.

Sinϑ = b/r

ϑ açısının kosinüsü

cosϑ = a/r

ϑ açısının tanjantı,

tanϑ = b/a dır.

Sinüs ve kosinüs eşitliklerini ele alalım.

Sinϑ = b/r

b = r.sinϑ olur. sanal kısım r.sinϑ dır.

cosϑ = a/r

a = r.cosϑ olur. Reel kısım r.cosϑ dır.

Bu durumda,

Z = a + bi

Z = r.cosϑ + r.sinϑ i

= r(cosϑ + i sinϑ) olur.

Bu gösterime kutupsal gösterim denir. cosϑ + sinϑ değerine cis denilmektedir. Yukarıdaki eşitlik kısaca z = r.cisϑ biçiminde gösterilebilir.

Kutupsal gösterimin bir diğer formu aşağıdaki biçimdedir.

z = r(cosϑ + i sinϑ) ise,

Örneğin,

V = V_m sin90 ise,

Bu durumda,

V = Vm.cos90 + Vm.sin90 i

= i.Vm olur.

Örnek:

z = 2 + (√2)i 

Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.

Çözüm:

z = a + bi biçimindeki bir karmaşık sayı için,

r = √a² + b² dir.

r = √4 + 2

r = √6 

Sinϑ = b/r

ϑ = sin^-1(√3/3)

ϑ = 35°

z sayısının kutupsal koordinatları 

(r, ϑ) = (√6, 35°)

Kutupsal gösterimi,

z = √6(cos35 + i.sin35)

z = √6 |35°

Örnek:

z = 8 + 6i 

Karmaşık sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyin, sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.

Çözüm:

r = |z| = √8² + 6²

r = √100 = 10

sinϑ = b/r

= 6/10

= 0,6

ϑ = sin^-1(0,6)

= 37°

Z nin kutupsal koordinatları,

(r, ϑ) = (10, 37°)

Z’nin kutupsal gösterimi,

Z = 10(cos37 + i.sin37)

z = 10 |37°

Örnek:

z = 3 – 4i 

Sayısının kutupsal koordinatlarını belirleyiniz. Sayıyı kutupsal biçimde gösteriniz.

Çözüm:

r = √3² + 4²

= √25 = 5

Sinϑ = -4/5

Sinϑ = - 0,8

ϑ = sin^-1(- 0,8) 

ϑ = - 53°

ϑ = 360 – 53 = 307°

z sayısının kutupsal koordinatları

(r, ϑ) = (5, 307°)

z = a – bi sayısında b negatif, a pozitif olduğundan z nin görüntüsü 4. Bölgede oluşacaktır. Bu bölgedeki açılar için sin(360 – ϑ) = - sinϑ ilişkisi vardır.

Diğer karmaşık sayılar için de benzer durum geçerlidir. Bulundukları bölge ve açıları kolayca tespit edilebilir.

Örneğin; - a + bi karmaşık sayısında a negatif, b pozitiftir. Bu sayının görüntüsü 2. Bölgede oluşacaktır. ϑ açısı için sin(180 – ϑ) = sinϑ ilişkisi vardır. cos(180 – ϑ) = - cosϑ dır.

A ve b’nin her ikisi de negatif ise görüntü 3. Bölgede oluşacaktır.

Karmaşık Sayıların Kökleri

SANATSAL BİLGİ

04/07/2019