KISMİ İNTEGRASYON YÖNTEMİ

İntegral alma kuralları. Kısmi integrasyon yöntemiyle integral alınması. Bir polinom ile üstel fonksiyonun veya trigonometrik fonksiyonun çarpımından meydana gelen integralleri hesaplama.

Kısmi integrasyonun 1. Bölümünde bir polinom ile üstel fonksiyonun ve bir polinom ile trigonometrik bir fonksiyonun çarpımından oluşan integrallerin çarpanlarına ayrılarak türevlerinin alınması hesaplanacaktır. 2. Bölümde Bir polinom ile bir logaritmik fonksiyonun çarpımından oluşan integraller ve sadece bir fonksiyondan oluşan integrallerin kısmi integrasyon yöntemi ile integrallerinin alınması konuları işlenecektir.

Kısmi integrasyon yöntemi mevcut haliyle integralinin alınmasının zor ve karışık olduğu fonksiyonları, parçalardan birinin kolayca integralinin alınabileceği 2 çarpana ayırma yöntemidir. 

u ile v, x değişkenine bağlı fonksiyonlar olsun. u ile v nin çarpımının türevi

(u.v)’ = u’.v+ u.v’ 

d(u.v) = du . v + u.dv şeklindedir. u.dv terimini yalnız bırakırsak,

u.dv = d(u.v) – du.v  elde ederiz. Şimdi her iki tarafın integralini alalım.

∫u .d = u.v - ∫v .du

Buna göre kısmi integrasyon yöntemi iki çarpandan meydana gelen veya getirilebilen fonksiyonlara uygulanır. Bu işlemde integral içindeki fonksiyon parçalardan birinin kolayca integralinin alınabileceği iki parçaya ayrılır.

Şimdi sırayla bu yöntemin uygulandığı integral tiplerini inceleyelim.

1. Bir polinom ile bir üstel fonksiyonun çarpımından meydana gelen integrallerde polinom u, kalan kısım dv olarak belirlenirse çözümde kolaylık sağlanır.

Örnek:

∫3x² .e^5x dx

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

3x² = u

6x dx= du

e^5x = dv olsun. Bu eşitliğin integralini alırsak, 

Şimdi 

∫u .dv = u.v - ∫v .du

Formülünü uygulayalım. u ile v’yi yerine yazalım.

 İntegral ifadesine ise I2 diyoruz. Bu iki ifadeyi en son birleştireceğiz.

Şimdi I2 terimi için aynı işlemi yapacağız.

Bu integrali de u, v ikilisi olarak ifade edelim.

u = x

dv = e^5x

olsun. 

du = dx 

v = ∫ e^5x dx

Bu durumda ikinci integral,

Şeklinde olur. Bunu I1 ile birleştirmeliyiz.

İki kez kısmi integrasyon yöntemi uyguladık, elde ettiğimiz sonuçları birleştirdik. Matematik işlem yapma alışkanlığınız olursa hızlı gidersiniz.

2. İntegral bir polinom ile bir trigonometrik fonksiyonun çarpımından meydana geliyorsa, polinoma u, trigonometrik fonksiyona dv demek işlemi kolaylaştırır.

Örnek:

Q(x) = ∫2x².cos2x dx

İntegralini hesaplayınız.

Çözüm:

Polinom u, trigonometrik fonksiyon dv olsun.

∫u .dv = u.v - ∫v .du

Formülünü uygulayalım.

u = 2x²

du = 4x dx

dv = cos2x

u.v = x² . sin2x

v.du = 2x . sin2x

Buraya kadar yaptığımız kısmi integrasyon işlemleri sonucunda, integralimiz aşağıdaki şekildedir.

Q(x) = x² .sin2x - ∫(2x.sin2x) dx

Bu eşitlikte x².sin2x = I1 olsun.

 İntegral içindeki ifade I2 olsun. I2 nin integralini alıp I1 ile toplayacağız. Yani 2x.sin2x terimine tekrar kısmi integrasyon yöntemini uygulayacağız.

2x.sin2x ifadesinde u = 2x, sin2x = dv olsun.

u = 2x

du = 2

dv = sin2x

= -x.cos2x

= -cos2x

Bu işlemleri yerine koyarsak integral sonucu aşağıdaki gibi olur.

I2 = -x.cos2x - ∫-(cos2x) dx

Şimdi I1 ile I2 yi birleştirelim.

Olur.

Değişken Değiştirme Yöntemi

SANATSAL BİLGİ

12/09/2019