Özel Ders

KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Matematik dersi, trigonometrik fonksiyonların grafikleri konusu. cosx fonksiyonunun grafiğinin çizilmesi. cosax ve acosx fonksiyonlarının grafiklerinin çizilmesi. Konu anlatımı ve örnekler.

Kosinüs fonksiyonunun periyodu 2π dir. Bunu daha önce çıkarmıştık. Şimdi bir periyot boyunca x’e karşılık gelen y değerlerini inceleyelim. Burada rastgele değer vermeyip sadece bildiğimiz 0, 30, 60, 90, … açı değerlerini vereceğiz.

1. cos0 = 1

2. cos30 = cos(π/6) = √3/2

3. cos60 = cos(π/3) = 0,5

4. cos90 = cos(π/2) = 0

5. cos120 = cos(2π/3) = -0,5

6. cos150 = cos(5π/6) = -√3/2

7. cos180 = cosπ = - 1

8. cos210 = cos(7π/6) = -√3/2

9. cos240 = cos(4π/3) = -0,5

10. cos270 = cos(3π/2) = 0

11. cos300 = cos(5π/3) = 0,5

12. cos(330) = cos(11π/6) = √3/2

13. cos(360) = 1

1 periyot boyunca x değerleri ve bu değerlere karşılık gelen y değerleri yukarıda sıralanmıştır. Burada biz sadece y = -1, -0,5, 0, 0,5 ve 1 değerlerini alacağız. Grafiği çizmemiz için bunlar yeterlidir.

Grafik y eksenini (0,1) noktasında kesecektir. x eksenini π/2 ve 3π/2 noktalarından keser.

Sinx fonksiyonunun grafiği y eksenini (0,0) noktasında kesmekteydi. X eksenini ise π ve 2π noktalarında kesiyordu. Buna göre cosx grafiği, sinx grafiğinin (π/2) kadar sola ötelenmiş halidir.

Kosinus_grafik1

Cosx fonksiyonunun 0 – 2π aralığındaki 1 periyotluk grafiği yukarıda çizilmiştir. Bu grafiği uzatmak için grafiğin 0 – 2π aralığındaki parçasını aynen sağ ve sol taraflara çizmek yeterlidir.

Kosinus_grafik2

y = cosx fonksiyonu çift fonksiyondur, grafiği y eksenine göre simetriktir.

Cos(ax) Fonksiyonunun Çizimi

Örnek:

f(x) = cos(3x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Fonksiyonun periyodunu bulalım. periyot, T olsun,

Cos(3(x + T)) = cos(3x).cos(3T) – sin(3x) . sin(3T)

cos(3x).cos(3T) – sin(3x) . sin(3T) = cos(3x)

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için cos(3T) = 1, sin(3T) = 0 olmalı.

Cos3T = 1 ise T = 2π/3 olur. Bu T değeri sin(3T) = 0 değerini de sağlar.

Buna göre fonksiyonun periyodu 2π/3 tür.

x = 0 için, cos0 = 1 olur.

x = π/9 için, cos(3.π/9) = 0,5

x= π/6 için, cos(3.π/6) = 0

x = 2π/9 için, cos(3.2π/9) = -0,5

x = π/3 için, cos(3.π/3) = - 1

x = 4π/9 için, cos(3.4π/9) = -0,5

x = 3π/6 için, cos(3.3π/6) = 0

x = 5π/9 için, cos(3.5π/9) = 0,5

x = 2π/3 = cos(3.2π/3) = 1

Burada x yerine verdiğimiz değerleri nasıl bulduk. Çok kolay, yukarıda cosx fonksiyonunun grafiğini çizerken aldığımız her x değerini 3’ bölerek gittik. Örneğin, π/3 yerine π/9 yazdık.

y değerleri yine -1 ile 0 aralığında değerler aldı. Sadece grafiğin periyodu 1/3 katına düştü. Dalga boyu 3 kat azaldı. Buna göre hareketlinin hızı 3 katına çıkmıştır.

Kosinus_grafik3

Örnek:

f(x) = cos(x/3) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Grafiğin periyodunu bulalım.

Cos((x + T)/3) = cos(x/3)

Cos(x/3) . cos(T/3) – sin(x/3) . sin(T/3) = cos(x/3)

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için,

T/3 = 2π → T = 6π olmalıdır. Buna göre fonksiyonun periyodu 6π dir.

x = 0, x = 3π ve x = 6π değerlerinde y = 1 olur. x = 3π/2 ve x = 9π/2 değeri için y = 0 olur. Grafik x eksenini sağda 3π/2 ve 9π/2 noktalarında, solda -3π/2 ve -9π/2 noktalarında keser.

Kosinus_grafik4

Grafik y = cosx fonksiyonunun genişliğinin 3 ile çarpılmış halidir. Grafiğin 2 tepe noktası arasındaki mesafe 3 katına çıkmıştır. Periyot ve dalga boyu 3 katına çıkmıştır, hız ise 3’te birine düşmüştür.

y =acosx Fonksiyonunun Grafiğinin Çizilmesi

Örnek:

y = 3cosx fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

Burada cosx için elde ettiğimiz y değerlerini 3 ile çarparak grafiği oluşturacağız. Fonksiyonun periyodunda herhangi bir değişiklik olmaz, sadece genlik 3 katına çıkacaktır.

Kosinus_grafik5