KOTANJANT SEKANT VE KOSEKANT GRAFİKLERİ
Matematik dersi, trigonometrik fonksiyonların grafikleri konusu. cotx, secx, cosecx fonksiyonlarının grafiklerinin çizilmesi. Adım adım açıklanarak çizilmiş grafikler.
1. Cotx Fonksiyonunun Grafiği
Cotx = cosx/sinx dir.
Sinx = 0 olduğunda, cotx tanımsız olur. sinx değeri 0’a yaklaşırken, cotx değeri sonsuza gider.
Sinx fonksiyonunu 0 yapan x değerleri π sayısının tam katlarıdır. Tanım kümesi;
T.K = R – {ϑ |ϑ = k.π, kϵ Z}
Şeklindedir. Yani Cotx fonksiyonu π sayısının tam katları dışında geçerlidir.
Bu durumda fonksiyon grafiği tanx fonksiyonunun grafik parçalarının sağa doğru çevrilmiş halidir diyebiliriz. Yalnız bu grafikte k. π/2 yerine k.π sayıları gelecektir. Cos(k.π/2) değerlerinde fonksiyon 0 olurken, sin(k.π) değerlerinde sonsuza gidecektir.
2. Secx Fonksiyonunun Grafiği
Secx = 1/cosx
olduğundan, cosx in 0 olduğu yerlerde fonksiyon tanımsız olur. cosx fonksiyonu 0’a yaklaşırken, secx değeri sonsuza gider.
Öte yandan cosx’in değeri küçüldükçe, secx değeri artar. Secx en küçük değerini cosx’in değerinin en büyük olduğu anda alır. Bu değer x = k.π değeridir. Cosx’in 1 veya -1 olduğu noktalar, secx grafiğinin taban noktasını oluşturacaktır. Tanım kümesi,
T.K = R – {ϑ |ϑ = k.π/2, kϵ Z}
Şekildeki grafiği yorumlayabilir misiniz? Secx fonksiyonunun periyodu 2π’dir. cos0 değerinde secx = 1 olacaktır. X değeri π/2 ye yaklaştıkça cosx değeri azalacak, secx değeri artacaktır. grafik x = π/2 noktasında sonsuza gidecektir. Yani grafik kesilecektir.
π/2 – π aralığında grafik sonsuzdan -1 noktasına gidecektir. Bunun nedeni x, π değerine yakınken, cosπ/2 değeri sonsuza yakın değerler alacaktır. Cosπ değeri -1 olacağından grafik bu noktada -1 değerini kesecektir.
π/2 – 3π/2 aralığında grafik yine -1 noktasından sonsuz değerine yaklaşarak uzayacaktır.
90°- 180° ve 180° – 270° aralıklarında cosx değeri negatif olacağından grafik bu aralıkta x ekseninin altında yer alacaktır.
270° ile 360° arasında cosx değeri pozitif olacağından grafik x ekseninin üst kısmında olacaktır. Grafik sonsuzdan 1 değerine yaklaşarak gelecektir. Bu şekilde 1 periyotluk çizim tamamlanmış olur.
Şekilde 1 numaralı grafiğin sağ tarafı, 2 numaralı grafiğin tamamı ve 3 numaralı grafiğin sol taraftaki yarı parçası 0 – 2π aralığındaki 1 periyotluk grafiği göstermektedir. Diğer periyotlarda aynı biçimde çizilir ve grafik birbirini tekrar eden bu parçalardan meydana gelir.
3. cosecx Fonksiyonunun Grafiği
Cosecx fonksiyonu 1/sinx fonksiyonudur. Bu fonksiyonun da periyodu 2π dir. sinx fonksiyonu k.π değerlerinde 0 olacağından fonksiyon sin(k.π) değerlerinde tanımsızdır. Fonksiyon grafiği bu noktalarda sonsuza gider.
x = k.π/2 değerlerinde cosec(x) = 1 olur. Bu noktalar, grafiğin taban noktalarıdır. Tanım kümesi,
T.K = R – {ϑ |ϑ = k.π, kϵ Z}
Yukarıdaki grafiği nasıl yorumlayacağız. 0 – 2π aralığını ele alalım. sin0 = 0 olduğundan grafik y ekseninin sağında sonsuzdan başlamalıdır. x = π/2 olduğunda grafik y = 1 seviyesine gelmelidir. X sayısı π/2 den büyük değerler aldıkça sinx fonksiyonu küçüleceği için, cosecx fonksiyonunun değeri büyür. X değişkeni π değerine yaklaşırken, grafik sonsuza gider.
π – 3π/2 aralığında grafik yine sonsuzdan y = 1 noktasına gelir. 3π/2 - 2π aralığında tekrar sonsuza uzanır.
Sinx değeri π – 2π aralığında negatif değerler aldığından cosecx fonksiyonunun grafiği x ekseninin altında olur. 1 periyotluk grafik 1 ve 2 nolu parçalardan meydana gelmektedir.
Grafiğin sol tarafındaki parçalarda bir anormallik görüyor musunuz? Sin(-π/2) = -sin(π/2) olduğundan, y ekseninin solunda grafik parçaları, x ekseninin altında başlamıştır. Ve ona göre devam eder.
Tanjant Fonksiyonunun Grafiği
Sinüs Fonksiyonunun Grafiği
SANATSAL BİLGİ
16/05/2019