KUTUPSAL FORMDA ÇARPMA VE BÖLME

Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. Trigonometrik ve kutupsal biçimdeki karmaşık sayılar arasında çarpma ve bölme işlemleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

1. Çarpma İşlemi

z₁ = r₁.cosϑ + i r₁  .sinϑ 

z₂ = r₂.cosα + i r₂.sinα

z₁.z₂ = r₁.r₂(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)

İki karmaşık sayı çarpılırken, büyüklükleri arasında çarpma, açıları arasında toplama işlemi yapılır.

Örnek:

i² = -1 olmak üzere,

z₁ = 10cos60 + 10sin60 i

z₂ = 5cos30 + 5sin30 i

z₁.z₂ işlemini yapınız.

Çözüm:

z1.z2 = r1.r2(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)

= 10.5 [cos(60 + 30) + i sin(60 + 30)]

= 50cos90 + 50i sin90

= 50i

Örnek:

Olduğuna göre, z1.z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel biçimde gösteriniz.

Çözüm:

z = z1.z2

Trigonometrikgösterimi,

 z = 600(cos60 + i sin60)

Dörtgensel gösterimi,

Cos60 = 0,5

Sin60 = 0,87

z = 600.0,5 + i.600.0,87

z = 300 + 522i

2. Bölme İşlemi 

z₁ = r₁.cosϑ + i r₁.sinϑ 

z₂ = r₂.cosα + i r₂.sinα

İki karmaşık sayının kutupsal formları arasında bölme yapılırken sayıların büyüklükleri arasında bölme, açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.

Örnek:

z1 = 20cos130 + 20i sin130

z2 = 5cos70 + 5i sin70

Olduğuna göre, z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu standart forma çeviriniz.

Çözüm:

z1 = 20[cos130 + i sin130]

z2 = 5[cos70 + i sin70]

z = z1/z2

= 4cos60 + 4i sin60

Sonucu standart forma çevirelim.

Cos60 = 0,5

Sin60 = 0,87

z = 4.0,5 + 4.0,87 i

= 2 + 3,48 i

Örnek:

olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel formda gösteriniz.

z = z1/z2

Trigonometrik formda gösterilişi aşağıdaki biçimdedir.

z = 20cos120 + 20i sin120

Dörtgensel formda gösterilişi,

Cos120 = -0,5

Sin120 = 0,87

z = 20(- 0,5) + 20(0,87)i

= - 10 + 17,4 i

Örnek:

z1 = 4cos70 + 4i sin70

z2 = 6cos110 + 6i sin110

z3 = 3cos30 – 3sin30

sonucu nedir?

Çözüm:

Önce paydadaki çarpma işlemini yapalım.

z1. z2 = 4.6[cos(70 + 110) + i sin(70 + 110)

= 24cos180 + 24isin180

= - 24

Bu durumda işlem aşağıdaki gibi olur.

Cos30 = 0,87

Sin30 = 0,5

Cos30 – i sin30 = 0,87 – 0,5 i

Pay ve paydayı paydadaki sayının eşleniği ile çarpalım.

= - 7 – 4i

Karmaşık sayıların Kutupsal Gösterimi

Kutupsal Formda Toplama ve Çıkarma İşlemleri

SANATSAL BİLGİ

12/07/2019