KUTUPSAL FORMDA ÇARPMA VE BÖLME
Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. Trigonometrik ve kutupsal biçimdeki karmaşık sayılar arasında çarpma ve bölme işlemleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
1. Çarpma İşlemi
z1 = r1.cosϑ + i r1 .sinϑ
z2 = r2.cosα + i r2.sinα
z1.z2 = r1.r2(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)
İki karmaşık sayı çarpılırken, büyüklükleri arasında çarpma, açıları arasında toplama işlemi yapılır.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
z1 = 10cos60 + 10sin60 i
z2 = 5cos30 + 5sin30 i
z1.z2 işlemini yapınız.
Çözüm:
z1.z2 = r1.r2(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)
= 10.5 [cos(60 + 30) + i sin(60 + 30)]
= 50cos90 + 50i sin90
= 50i
Örnek:

Olduğuna göre, z1.z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel biçimde gösteriniz.
Çözüm:
z = z1.z2

Trigonometrikgösterimi,
z = 600(cos60 + i sin60)
Dörtgensel gösterimi,
Cos60 = 0,5
Sin60 = 0,87
z = 600.0,5 + i.600.0,87
z = 300 + 522i
2. Bölme İşlemi
z1 = r1.cosϑ + i r1.sinϑ
z2 = r2.cosα + i r2.sinα

İki karmaşık sayının kutupsal formları arasında bölme yapılırken sayıların büyüklükleri arasında bölme, açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.
Örnek:
z1 = 20cos130 + 20i sin130
z2 = 5cos70 + 5i sin70
Olduğuna göre, z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu standart forma çeviriniz.
Çözüm:

z1 = 20[cos130 + i sin130]
z2 = 5[cos70 + i sin70]
z = z1/z2

= 4cos60 + 4i sin60
Sonucu standart forma çevirelim.
Cos60 = 0,5
Sin60 = 0,87
z = 4.0,5 + 4.0,87 i
= 2 + 3,48 i
Örnek:

olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel formda gösteriniz.
z = z1/z2

Trigonometrik formda gösterilişi aşağıdaki biçimdedir.
z = 20cos120 + 20i sin120
Dörtgensel formda gösterilişi,
Cos120 = -0,5
Sin120 = 0,87
z = 20(- 0,5) + 20(0,87)i
= - 10 + 17,4 i
Örnek:
z1 = 4cos70 + 4i sin70
z2 = 6cos110 + 6i sin110
z3 = 3cos30 – 3sin30
sonucu nedir?
Çözüm:
Önce paydadaki çarpma işlemini yapalım.
z1. z2 = 4.6[cos(70 + 110) + i sin(70 + 110)
= 24cos180 + 24isin180
= - 24
Bu durumda işlem aşağıdaki gibi olur.
Cos30 = 0,87
Sin30 = 0,5
Cos30 – i sin30 = 0,87 – 0,5 i
Pay ve paydayı paydadaki sayının eşleniği ile çarpalım.
= | -8(0,87 + 0,5i) |
|
( 0,87 – 0,5 i)( 0,87 + 0,5 i) |
= | - 7 – 4i |
|
0,87)2 + (0,5)2 |
= - 7 – 4i
Karmaşık sayıların Kutupsal Gösterimi
Kutupsal Formda Toplama ve Çıkarma İşlemleri
SANATSAL BİLGİ
12/07/2019