KUTUPSAL FORMDA ÇARPMA VE BÖLME

Matematik dersi karmaşık sayılar konusu. Trigonometrik ve kutupsal biçimdeki karmaşık sayılar arasında çarpma ve bölme işlemleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



1. Çarpma İşlemi

z1 = r1.cosϑ + i r1  .sinϑ 

z2 = r2.cosα + i r2.sinα

z1.z2 = r1.r2(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)

İki karmaşık sayı çarpılırken, büyüklükleri arasında çarpma, açıları arasında toplama işlemi yapılır.


Örnek:

i2 = -1 olmak üzere,

z1 = 10cos60 + 10sin60 i

z2 = 5cos30 + 5sin30 i


z1.z2 işlemini yapınız.


Çözüm:

z1.z2 = r1.r2(cos(ϑ + α) + i sin(ϑ + α)

= 10.5 [cos(60 + 30) + i sin(60 + 30)]

= 50cos90 + 50i sin90

= 50i


Örnek:

Kutupsal_carpma1


Olduğuna göre, z1.z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel biçimde gösteriniz.


Çözüm:

z = z1.z2

Kutupsal_carpma2


Trigonometrikgösterimi,

 z = 600(cos60 + i sin60)


Dörtgensel gösterimi,

Cos60 = 0,5

Sin60 = 0,87

z = 600.0,5 + i.600.0,87

z = 300 + 522i



2. Bölme İşlemi 

z1 = r1.cosϑ + i r1.sinϑ 

z2 = r2.cosα + i r2.sinα


Kutupsal_carpma3


İki karmaşık sayının kutupsal formları arasında bölme yapılırken sayıların büyüklükleri arasında bölme, açıları arasında çıkarma işlemi yapılır.



Örnek:

z1 = 20cos130 + 20i sin130

z2 = 5cos70 + 5i sin70


Olduğuna göre, z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu standart forma çeviriniz.

Çözüm:

Kutupsal_carpma3b


z1 = 20[cos130 + i sin130]

z2 = 5[cos70 + i sin70]

z = z1/z2

Kutupsal_carpma4


= 4cos60 + 4i sin60


Sonucu standart forma çevirelim.


Cos60 = 0,5

Sin60 = 0,87

z = 4.0,5 + 4.0,87 i

= 2 + 3,48 i


Örnek:

Kutupsal_carpma5


olduğuna göre z1/z2 işlemini yapınız. Sonucu trigonometrik ve dörtgensel formda gösteriniz.


z = z1/z2


Kutupsal_carpma6


Trigonometrik formda gösterilişi aşağıdaki biçimdedir.

z = 20cos120 + 20i sin120


Dörtgensel formda gösterilişi,

Cos120 = -0,5

Sin120 = 0,87

z = 20(- 0,5) + 20(0,87)i

= - 10 + 17,4 i


Örnek:

z1 = 4cos70 + 4i sin70

z2 = 6cos110 + 6i sin110

z3 = 3cos30 – 3sin30


Olduğuna göre z1.z2
z3




sonucu nedir?


Çözüm:

Önce paydadaki çarpma işlemini yapalım.

z1. z2 = 4.6[cos(70 + 110) + i sin(70 + 110)

= 24cos180 + 24isin180

= - 24


Bu durumda işlem aşağıdaki gibi olur.

z1.z2 
= -24
3cos30 – 3i sin30
z3





= -8
cos30 – i sin30





Cos30 = 0,87

Sin30 = 0,5

Cos30 – i sin30 = 0,87 – 0,5 i

 -8 
= -8
0,87 – 0,5 i
cos30 – i sin30





Pay ve paydayı paydadaki sayının eşleniği ile çarpalım.

= -8(0,87 + 0,5i)
( 0,87 – 0,5 i)( 0,87 + 0,5 i)




= - 7 – 4i
0,87)2 + (0,5)2





= - 7 – 4i
1




= - 7 – 4i


Karmaşık sayıların Kutupsal Gösterimi

Kutupsal Formda Toplama ve Çıkarma İşlemleri



SANATSAL BİLGİ

12/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI