KUTUPSAL FORMDA TOPLAMA ÇIKARMA

Matematik dersi, karmaşık sayılar konusu. Karmaşık sayıların kutupsal biçimlerinde toplama ve çıkarma işlemleri. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Kutupsal formda verilmiş iki karmaşık sayıyı toplamak ve çıkarmak için uygulanacak yöntemlerden biri sayıyı standart forma çevirmek ve sonra toplama – çıkarma işlemlerini yapmaktır.

Örnek:

z₁ = 5(cos60 + i sin60)

z₂ =8(cos120 + i sin120)

Olduğuna göre z₁ + z₂ işlemini yapınız.

Çözüm:

Her iki sayıyı standart biçimlerine çevirelim.

Cos60 = 0,5

Sin60 = √3 /2 = 0,87

z₁ = 5.0,5 + 5.0,87

= 2,5 + 4,35i

Cos120 = cos(180 – 60) = - cos60 = - 0,5

Sin120 = sin(180 – 60) = sin60 = 0,87

z₂ = 8(-0,5 + j0,87)

z₂ = - 4 + 7 i

z = z₁ + z₂ 

= (2,5 – 4) + (4,35 + 7)i

= - 1,5 + 11,35 i

Bu sonucu tekrar kutupsal forma çevirelim.

r = |z| =√ (-1,5)2 + (11,35)2)

= √2,25 + 129

= 11,5

sinϑ = 11,35/11,5

= 0,99 

ϑ = sin^-1 (0,99)

ϑ = 82

z = - 1,5 + 11,35 i şeklinde idi. Reel kısım negatif, sanal kısım pozitif işaretlidir. Bu nedenle görüntü 2. Bölgededir. 2. Bölgede açı,

ϑ = 180 – 82 = 98° olur.

Arg(z) = 98° dir.

(r, ϑ) = (11,5 , 98°) dir.

Kutupsal form,

z = 11,5(cos98 + i sin98)

Yuvarlamalardan dolayı sizin bulacağınız sonuç birebir aynı çıkmayabilir, virgülden sonrasını iki hassasiyetli alın.

Örnek:

z₁ = 5cos75+ 5i sin75

z₂ = 5cos15 + 8i sin15

Olduğuna göre,

z₁ – z₂ işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Bu soruyu iki yoldan yapalım, önce standart formlarına çevirerek daha sonra yarım açı formülünü kullanarak yapalım.

1. yol

Her iki sayıyı standart biçimlerine çevirelim

Cos75 = 0,26

Sin75 =0,97

z₁ = 5.0,26 + 5.0,97 i

= 1,3 + 4,85 i

Cos15 = 0,97

Sin15 = 0,26

z₂ = 5.0,97 + 5. 0,26 i

z₂ = 4,85 + 1,3 i

z = z₁ – z₂ 

= (1,3 – 4,85) + (4,85 – 1,3)

= -3,55 + 3,55 i

Şimdi sonucun kutupsal koordinatlarını bulalım.

r = |z| = √(3,55)2 + (3,55)2

= 5,02 ≅ 5

Sinϑ = 3,55/5

Sinϑ = 0,71

ϑ = sin^-1(0,71)

= 45°

(r, ϑ) = (5, 45°)

Sonucu tekrar kutupsal forma çevirmek istersek,

z = 5(cos45 + i sin45)

2. Yol 

Sanal ve reel kısımları kendi aralarında toplayıp, dönüşüm formüllerini kullanarak sonuca gideceğiz.

z1 = 5cos75+ 5i sin75

z2 = 5cos15 + 8i sin15

z1 – z2 = 5cos75 – 5cos15 + i(5sin75 – 5sin15)

= 5(cos75 – cos15) + 5i(sin75 – sin15)  (1)

Cosa – cosb = -2sin[(x + y)/2].sin[(x – y)/2]

Cos75 – cos15 = -2sin45.sin30

= -2.(0,71) . 0,5

= - 0,71

Sina – sinb = 2sin[(a – b)/2].cos[(a + b)/2]

Sin75 – sin15 = 2sin30.cos45

= 2. (0,5) . (0,71)

= 0,71

Bu sonuçları (1) eşitliğinde yerine koyarsak,

z1 – z2 = 5(cos75 – cos15) + 5i(sin75 – sin15)  

= 5.(-0,71) + 5i(0,0,71)

= -3,55 + 3,55 i

Kutupsal Formda Çarpma ve Bölme

Karmaşık Sayılarda 4 İşlem

SANATSAL BİLGİ

16/07/2019