L HOSPİTAL KURALI
Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Limitlerde belirsizliğin türev ile çözülmesi. 0/0, ∞/∞, 0.∞ ve ∞ - ∞ belirsizliklerinin L’Hospital kuralı uygulanarak çözülmesi.
L Hospital kuralı limitlerde 0/0 veya ∞/∞ belirsizlikleri ile karşılaşıldığında, türevden yararlanarak bu problemlerin çözülmesini sağlar.
Bu kural 0/0 veya ∞/∞ belirsizliklerinin yanı sıra 0.∞ ve ∞ - ∞ belirsizlikleri durumunda da fonksiyonda bazı düzenlemeler yapılabiliyorsa uygulanabilir.
Teorem:
f ve g fonksiyonları [a, b] aralığında sürekli ve (a, b) aralığında türevlenebilen iki fonksiyon ve k ∈ (a, b) olmak üzere,
Yani pay ve paydadaki fonksiyonların türevleri alınarak tekrar pay ve paydaya konulur ve tekrar limit alınır.
Belirsizlik durumu devam ederse 2. ve 3. Mertebeden türevler alınarak belirsizlik durumu ortadan kalkıncaya kadar devam edilebilir.
1. 0/0 Belirsizliği
Örnek:
| lim(x→3) | x3 – 3x2 + 2x – 6 |
|
| 2x2 – 6x |
Limitinin sonucu nedir?
Çözüm:
Pay ve paydadaki ifadeleri ayrı fonksiyonlar olarak düşünelim.
x3 – 3x2 + 2x – 6 = f(x)
2x2 – 6x = g(x)
Olsun.
Sonucunu verir, bu nedenle f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevini alacağız.
f’(x) = 3x2 – 6x + 2
g’(x) = 4x – 6
Şimdi bu türevleri oranlar ve limitini alırsak,
| = Lim(x→3) | 3x2 – 6x + 2 |
|
| 4x – 6 |
= 11/6
olarak bulunur.
Örnek:
| lim(x→5) | 2xcos(πx) + 10 |
|
| x2 – 25 |
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
x bir tek tamsayı olduğunda,
Cos(π.x) = -1 olduğundan, x = 5 için,
| lim(x→5) | 2x.cos(πx) + 10 | |
| x2 – 25 |
= 0/0
Olduğu için pay ve paydanın türevini alacağız.
2xcos(πx) – 8 = f(x)
x2 – 25 = g(x) olsun.
f’(x) = 2cos(πx) – 2xsin(πx)
g’(x) = 2x
Şimdi türevlerini aldığımız fonksiyonları oranlayarak limitlerini alalım.
| lim(x→5) | 2cos(πx) – 2xsin(πx) |
|
| 2x |
= - 1/5
2. ∞/∞ Belirsizliği
Örnek:
Limitini hesaplayınız.
Çözüm:
Lim(x→0) 2lnx = -∞
Lim(x→0) (3/2x2) = ∞
Olduğundan, ∞/∞ belirsizliği ortaya çıkmaktadır.
Bu nedenle limite L’Hospital kuralını uygulayacağız.
f(x) = 2lnx
= -3/2x3
Bu değerleri limitte yerine koyarsak,
= 0 olur.
3. 0.∞ belirsizliği
Örnek:
Lim(x→π/2) cos7x . sec5x limitini hesaplayınız.
Lim(x→π/2) cos7x = 0
Lim(x→π/2) sec5x = ∞
Olduğundan 0.∞ belirsizliği ortaya çıkmaktadır.
f(x) = cos7x
g(x) = sec5x olsun.
cosx.secx çarpımını limit içerisine,
Şeklinde koyarsak 0/0 belirsizliği oluşur. Çünkü g(x) limiti ∞ olduğundan 1/∞ 0’a gider.
Şayet limiti
Biçiminde düzenlersek bu kez ∞/∞ belirsizliği elde ederiz. Her iki durumda da L’Hospital Kuralı uygulanabilir.
Biz ∞/∞ belirsizliği haline getirerek çözeceğiz.
Sec5x = 1/cos5x
Olduğundan,
Sonucunu elde ederiz. Şimdi pay ve paydanın türevini alırsak,
(cos7x)’ = -7sin7x
(cos5x)’ = -5sin5x
| lim(x→π/2) | -7sin7x |
|
| -5sin5x |
= - 7/5
x = π/2 = 90 olduğunda sin7x = sin630 olmaktadır ve bu değer -1'e eşittir. sin5x = sin450 = 1 dir.
4. ∞ - ∞ Belirsizliği
Limx→a [f(x) – g(x)] = ∞ - ∞ oluyorsa f(x) – g(x) ifadesinde bir takım düzenlemeler yapılarak limit değeri ∞/∞ yapılmaya çalışılır. Sonrasında L’Hospital Kuralı uygulanarak çözüme gidilir.
Örnek:
Limitini hesaplayınız.
Çözüm:
= ∞ - ∞ olmaktadır. çünkü tanx = sinx/cosx ve sinπ= 0 olacağından 1/tanx değeri sonsuza gider.
f(x) = 1/sinx
g(x) = 1/tanx olsun.
tanx = sinx/cosx olduğuna göre,
Bu ifadenin türevini alalım.
Bu ifadenin limiti,
Limx→π (sinx/cosx)
= 0 olmaktadır.
Maksimum - Minimum Problemleri
SANATSAL BİLGİ
17/08/2019