LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Matematik dersi, logaritma konusu. Logaritmanın özellikleri ve ispatları. Logaritmalarda çarpım, bölüm ve üs özellikleri. logaritması 0 ve 1 olan sayılar. Konu anlatımı ve örnekler.

Özellik –1

Logaritması 1 olan sayılar tabana eşittir.

 log_a a = 1

a¹ ≡ a olduğundan log_a a = 1

Üssü 1 olan sayılar kendisine eşittir. Buna göre logaritmanın tabanı ile gövdesi eşit ise bu logaritma 1’e eşittir.

Özellik –2

1'in logaritması 0'dır.

 log_a 1 = 0

Üssü 0 olan sayılar 1’e eşittir. Bu nedenle 1’in a tabanındaki logaritması 0 olur. Başka bir deyişle logaritma gövdesi 1 ise bu logaritma 0’a eşittir.

Özellik – 3 

Logaritmalarda iki sayının çarpımı kuralı.

 log_a (x.y) =log_a x + log_a y 

Bu özelliğin ispatını yapalım.

Üslü sayılarda birbiri ile çarpılan sayıların tabanı eşit ise bu sayıların üssü toplanıyordu.

aⁿ = x ve a^m = y ise, 

 x.y = aⁿ.a^m = a^(n+m) olduğundan

log_a (x.y) =log_a x + log_a y = n + m olmaktadır.

İkiden fazla sayının çarpımında da bu kural değişmez.

log_a (x.y.z) =log_a x + log_a y + log_a z

Örnek:

x ve y 1’den büyük doğal sayılardır.

Log₅(x.y) = 3 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?

Çözüm:

Log₅ (x.y) = 3 ise,

5³ = x.y dir.

x.y = 125 ve x ile y doğal sayı ise bu sayılardan biri 5, diğeri 25’tir.

x + y = 30 bulunur.

Örnek:

Log₄ (x.y) = 5

Log₄ x = 2 olduğuna göre y değeri kaçtır?

Çözüm:

Log₄ (x.y) = Log₄ x + log₄ y

Log₄ x = 2 ise,

Log₄ (x.y) = 2 + Log₄ y

5 = 2 + log₄ y

Log₄ y = 3

y = 4³ = 64 tür.

Özellik – 4 

Logaritmalarda bölme özelliği.

Log_a (x/y) = log_a x – log_a y

Bu özelliğin ispatını yapalım.

x = aⁿ ve y = a^m olsun.

İki üslü sayı birbirine bölündüğünde tabanlar eşit ise üsler çıkarılıyordu. O halde,

Buna göre,

Log_a (x/y) = n – m 

= log_a x – log_a y olur.

Örnek:

Log₂ (x/y) = 6

Log₂ y = 2 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?

Çözüm:

Log₂ (x/y) = log₂ x – log₂ y

6 = log₂ x – 2 

8 = log₂ x 

x = 2⁸ = 256

log₂ y = 2 olduğundan,

y = 2² = 4 olur.

x + y = 256 + 4 = 260 olarak bulunur.

Özellik – 5

Logaritma içindeki sayı üslü ise,

Log_a xⁿ = n.log_a x

Bu özelliğin ispatını yapalım.

log_a x = m olsun.

x = a^m olur.

Her iki tarafın n.ci kuvvetini alırsak,

xⁿ = a^m.n olur. Diğer taraftan

log_a x = m ise

log_a xⁿ = m.n dir. Yukarıdaki eşitliklerden görüleceği gibi.

n.log_a x ifadesinde log_a x = m olduğundan,

 n.log_a x = n.m olur.

Buna göre log_a xⁿ = n.log_a x olur.

Örnek:

n.log₂ 16 = 8 olduğuna göre n kaçtır?

Çözüm:

n.log₂ 16 = 8

Log₂ 16 = 4 tür. bu sonucu yukarıdaki eşitlikte logaritma yerine yazarsak,

n.4 = 8

n = 2

Özellik – 6 

Log_a x . log_x a =1 dir.

Bu özelliğin ispatını yapalım.

Log_a x = k ,

Log_x a = m olsun,

x = a^k  olur.

a = x^m

Bu sonucu yukarıda a yerine yazarsak,

x = x^k.m

k.m = 1

 Log_a x . log_x a = k.m olduğundan

Log_a x . log_x  a = 1 olur.

Özellik – 7 

x^{(loga x)}  = x

Bu teoremi ispatlamak kolaydır.

Log_a  x = k olsun.

x= a^k olur.

x^{(loga x )}  = a^k

x^k= a^k

x = a olur ki bu durum teoremi ispatlar.

Örnekler:

3^{log2 (3 )}   = 3 tür.

15^{log9 (15)} = 15 tir.

18^{log14 (18)} = 18’dir.

Özellik – 8 

Log_a a^x = x

İspatı:

Log_a a^x = y olsun,

Bu eşitlikten logaritma içini çekersek,

a^x = a^yolur.

Tabanlar eşit ise üsler de eşittir.

x = y olur.

Log_a a^x = y = x

Örnekler:

Log₅ 5¹⁰ = 10 dur.

Log₉  9⁹⁹ = 99 dur.

Örnek:

20^{log5 20} + log8 8⁹ – 15^{(og4 1)} İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Özellik – 7 ve özellik – 8 i kullanırız.

20^{(log5 20)}= 20

log₈ 8⁹  = 9

15^{log4 15} = 15 

20^{(log5 20)}+ log8 8⁹ – 15^{log4 15}

20 + 9 – 15 = 14

Logaritma Kavramı Konu Anlatımı

SANATSAL BİLGİ

31/03/2019