LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

Matematik dersi, logaritma konusu. Logaritmanın özellikleri ve ispatları. Logaritmalarda çarpım, bölüm ve üs özellikleri. logaritması 0 ve 1 olan sayılar. Konu anlatımı ve örnekler.


Özellik –1

Logaritması 1 olan sayılar tabana eşittir.

 loga a = 1


a1 ≡ a olduğundan loga a = 1

Üssü 1 olan sayılar kendisine eşittir. Buna göre logaritmanın tabanı ile gövdesi eşit ise bu logaritma 1’e eşittir.


Özellik –2

1'in logaritması 0'dır.

 loga 1 = 0

Üssü 0 olan sayılar 1’e eşittir. Bu nedenle 1’in a tabanındaki logaritması 0 olur. Başka bir deyişle logaritma gövdesi 1 ise bu logaritma 0’a eşittir.


Özellik – 3 

Logaritmalarda iki sayının çarpımı kuralı.

 loga (x.y) =loga x + loga y 

Bu özelliğin ispatını yapalım.

Üslü sayılarda birbiri ile çarpılan sayıların tabanı eşit ise bu sayıların üssü toplanıyordu.

an = x ve am = y ise, 

 x.y = an.am = a(n+m) olduğundan

loga (x.y) =loga x + loga y = n + m olmaktadır.

İkiden fazla sayının çarpımında da bu kural değişmez.

loga (x.y.z) =loga x + loga y + loga z


Örnek:

x ve y 1’den büyük doğal sayılardır.

Log5(x.y) = 3 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?


Çözüm:

Log5 (x.y) = 3 ise,

53 = x.y dir.

x.y = 125 ve x ile y doğal sayı ise bu sayılardan biri 5, diğeri 25’tir.

x + y = 30 bulunur.


Örnek:

Log4 (x.y) = 5

Log4 x = 2 olduğuna göre y değeri kaçtır?


Çözüm:

Log4 (x.y) = Log4 x + log4 y

Log4 x = 2 ise,

Log4 (x.y) = 2 + Log4 y

5 = 2 + log4 y

Log4 y = 3

y = 43 = 64 tür.


Özellik – 4 

Logaritmalarda bölme özelliği.

Loga (x/y) = loga x – loga y

Bu özelliğin ispatını yapalım.

x = an ve y = am olsun.

x 
= an
am
y




İki üslü sayı birbirine bölündüğünde tabanlar eşit ise üsler çıkarılıyordu. O halde,


x = a(n – m) olur. 
y




Buna göre,

Loga (x/y) = n – m 

= loga x – loga y olur.


Örnek:

Log2 (x/y) = 6

Log2 y = 2 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?


Çözüm:

Log2 (x/y) = log2 x – log2 y

6 = log2 x – 2 

8 = log2 x 


x = 28 = 256

log2 y = 2 olduğundan,

y = 22 = 4 olur.

x + y = 256 + 4 = 260 olarak bulunur.


Özellik – 5

Logaritma içindeki sayı üslü ise,

Loga xn = n.loga x

Bu özelliğin ispatını yapalım.

loga x = m olsun.

x = am olur.

Her iki tarafın n.ci kuvvetini alırsak,

xn = am.n olur. Diğer taraftan

loga x = m ise

loga xn = m.n dir. Yukarıdaki eşitliklerden görüleceği gibi.

n.loga x ifadesinde loga x = m olduğundan,

 n.loga x = n.m olur.

Buna göre loga xn = n.loga x olur.


Örnek:

n.log2 16 = 8 olduğuna göre n kaçtır?


Çözüm:

n.log2 16 = 8

Log2 16 = 4 tür. bu sonucu yukarıdaki eşitlikte logaritma yerine yazarsak,

n.4 = 8

n = 2


Özellik – 6 

Loga x . logx a =1 dir.

Bu özelliğin ispatını yapalım.

Loga x = k ,

Logx a = m olsun,


x = ak  olur.

a = xm

Bu sonucu yukarıda a yerine yazarsak,

x = xk.m

k.m = 1

 Loga x . logx a = k.m olduğundan

Loga x . logx  a = 1 olur.


Özellik – 7 

x(loga x)  = x


Bu teoremi ispatlamak kolaydır.

Loga  x = k olsun.

x= ak olur.

x(loga x )  = ak

xk= ak

x = a olur ki bu durum teoremi ispatlar.



Örnekler:

3log2 (3 )   = 3 tür.

15log9 (15) = 15 tir.

18log14 (18) = 18’dir.


Özellik – 8 

Loga ax = x

İspatı:

Loga ax = y olsun,

Bu eşitlikten logaritma içini çekersek,

ax = ayolur.

Tabanlar eşit ise üsler de eşittir.

x = y olur.

Loga ax = y = x


Örnekler:

Log5 510 = 10 dur.

Log9  999 = 99 dur.


Örnek:

20log5 20 + log8 89 – 15(og4 1) İşleminin sonucu kaçtır?


Çözüm:

Özellik – 7 ve özellik – 8 i kullanırız.

20(log5 20)= 20

log8 89  = 9

15log4 15 = 15 

20(log5 20)+ log8 89 – 15log4 15

20 + 9 – 15 = 14


Logaritma Kavramı Konu Anlatımı



SANATSAL BİLGİ

31/03/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI