LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
Matematik dersi, logaritma konusu. Logaritmanın özellikleri ve ispatları. Logaritmalarda çarpım, bölüm ve üs özellikleri. logaritması 0 ve 1 olan sayılar. Konu anlatımı ve örnekler.
Özellik –1
Logaritması 1 olan sayılar tabana eşittir.
loga a = 1
a1 ≡ a olduğundan loga a = 1
Üssü 1 olan sayılar kendisine eşittir. Buna göre logaritmanın tabanı ile gövdesi eşit ise bu logaritma 1’e eşittir.
Özellik –2
1'in logaritması 0'dır.
loga 1 = 0
Üssü 0 olan sayılar 1’e eşittir. Bu nedenle 1’in a tabanındaki logaritması 0 olur. Başka bir deyişle logaritma gövdesi 1 ise bu logaritma 0’a eşittir.
Özellik – 3
Logaritmalarda iki sayının çarpımı kuralı.
loga (x.y) =loga x + loga y
Bu özelliğin ispatını yapalım.
Üslü sayılarda birbiri ile çarpılan sayıların tabanı eşit ise bu sayıların üssü toplanıyordu.
an = x ve am = y ise,
x.y = an.am = a(n+m) olduğundan
loga (x.y) =loga x + loga y = n + m olmaktadır.
İkiden fazla sayının çarpımında da bu kural değişmez.
loga (x.y.z) =loga x + loga y + loga z
Örnek:
x ve y 1’den büyük doğal sayılardır.
Log5(x.y) = 3 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Log5 (x.y) = 3 ise,
53 = x.y dir.
x.y = 125 ve x ile y doğal sayı ise bu sayılardan biri 5, diğeri 25’tir.
x + y = 30 bulunur.
Örnek:
Log4 (x.y) = 5
Log4 x = 2 olduğuna göre y değeri kaçtır?
Çözüm:
Log4 (x.y) = Log4 x + log4 y
Log4 x = 2 ise,
Log4 (x.y) = 2 + Log4 y
5 = 2 + log4 y
Log4 y = 3
y = 43 = 64 tür.
Özellik – 4
Logaritmalarda bölme özelliği.
Loga (x/y) = loga x – loga y
Bu özelliğin ispatını yapalım.
x = an ve y = am olsun.
İki üslü sayı birbirine bölündüğünde tabanlar eşit ise üsler çıkarılıyordu. O halde,
Buna göre,
Loga (x/y) = n – m
= loga x – loga y olur.
Örnek:
Log2 (x/y) = 6
Log2 y = 2 olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
Çözüm:
Log2 (x/y) = log2 x – log2 y
6 = log2 x – 2
8 = log2 x
x = 28 = 256
log2 y = 2 olduğundan,
y = 22 = 4 olur.
x + y = 256 + 4 = 260 olarak bulunur.
Özellik – 5
Logaritma içindeki sayı üslü ise,
Loga xn = n.loga x
Bu özelliğin ispatını yapalım.
loga x = m olsun.
x = am olur.
Her iki tarafın n.ci kuvvetini alırsak,
xn = am.n olur. Diğer taraftan
loga x = m ise
loga xn = m.n dir. Yukarıdaki eşitliklerden görüleceği gibi.
n.loga x ifadesinde loga x = m olduğundan,
n.loga x = n.m olur.
Buna göre loga xn = n.loga x olur.
Örnek:
n.log2 16 = 8 olduğuna göre n kaçtır?
Çözüm:
n.log2 16 = 8
Log2 16 = 4 tür. bu sonucu yukarıdaki eşitlikte logaritma yerine yazarsak,
n.4 = 8
n = 2
Özellik – 6
Loga x . logx a =1 dir.
Bu özelliğin ispatını yapalım.
Loga x = k ,
Logx a = m olsun,
x = ak olur.
a = xm
Bu sonucu yukarıda a yerine yazarsak,
x = xk.m
k.m = 1
Loga x . logx a = k.m olduğundan
Loga x . logx a = 1 olur.
Özellik – 7
x(loga x) = x
Bu teoremi ispatlamak kolaydır.
Loga x = k olsun.
x= ak olur.
x(loga x ) = ak
xk= ak
x = a olur ki bu durum teoremi ispatlar.
Örnekler:
3log2 (3 ) = 3 tür.
15log9 (15) = 15 tir.
18log14 (18) = 18’dir.
Özellik – 8
Loga ax = x
İspatı:
Loga ax = y olsun,
Bu eşitlikten logaritma içini çekersek,
ax = ayolur.
Tabanlar eşit ise üsler de eşittir.
x = y olur.
Loga ax = y = x
Örnekler:
Log5 510 = 10 dur.
Log9 999 = 99 dur.
Örnek:
20log5 20 + log8 89 – 15(og4 1) İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Özellik – 7 ve özellik – 8 i kullanırız.
20(log5 20)= 20
log8 89 = 9
15log4 15 = 15
20(log5 20)+ log8 89 – 15log4 15
20 + 9 – 15 = 14
Logaritma Kavramı Konu Anlatımı
SANATSAL BİLGİ
31/03/2019