MAKSİMUM MİNİMUM TEST I ÇÖZÜMLERİ

Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Geometrik şekiller ve sayılarla ilgili maksimum ve minimum problemleri ile ilgili çözümlü soruların açıklamalı çözümleri.

Çözüm – 1 

1. sayıya x dersek 2. Sayı (50 – x) olur.

Bu sayıların kareleri toplamını veren fonksiyon f(x) olsun.

f(x) = x² + (50 – x)²

= x² + 2500 – 100x + x²

= 2x² – 100x + 2500

f’(x) = 4x – 100 olur.

4x – 100 = 0

x = 25 tir.

25 kritik noktadır. Bu nokta maksimum noktası mı yoksa minimum noktası mıdır?

x = - ∞ için,

f’(-∞) = -4.∞ - 100 = -∞

x = +∞ için,

f’(+∞) = 4.∞ - 100 = +∞

Bu noktanın solunda türev ifadesi azalmakta, sağında artmaktadır. O halde bu nokta bir minimum noktasıdır. Başkaca minimum nokta bulunmadığından mutlak minimum noktasıdır. O halde x = 25 için f(x) fonksiyonu minimum değerindedir.

f(25) = 2.25² – 100.25 + 2500

= 1250 – 2500 + 2500

= 1250

Bu değer dışında mesela x = 24 olsa ne olurdu.

f(24) = 2.24² – 100.24 + 2500

= 1152 – 2400 + 2500

= 1252

Daha büyük bir değer ortaya çıkardı.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 2 

Bir silindirin alanı, aşağıdaki formül ile verilir.

S = 2.π.r² + 2.π.r.h

Bir silindirin hacmini veren formül,

V = π.r².h

Hacim 1296 cm³ olacağına göre,

1296 = π.r².h olmalıdır.

Bu bağıntıyı kullanarak yükseklik ile yarıçap arasında bir ilişki bulacağız.

Bu durumda silindirin alanını güncelleyelim.

Şimdi silindir alanını r yarıçapına bağlı tek değişkenli bir fonksiyon durumuna getirdik.

Artık fonksiyonun türevini alabilir, maksimum ve minimum r değerini bulabiliriz. Burada silindirin yüksekliği en fazla kaç olmalıydı şeklinde sorulmuş olsaydı, biz fonksiyonu h’ye bağlı bir fonksiyon haline getirirdik.

Silindirin alanını veren fonksiyon f(r ) olsun.

Bu fonksiyonu 0 yapan değer, kritik noktadır.

0 = 4.π.r³ - 2592

4.π.r³ = 2592

π.r³ = 648

r³ = 216

r = 6

Bu nokta fonksiyonun minimum noktası mıdır?

r = -∞ için,

f’(-1) = 4.π.(-∞)³ – 2592/(-∞)²

= -4.π.∞ – 0

= -∞

r = +∞ için,

f’(∞) = 4.π.(∞)³ – 2592/(∞)²

= 4.π.∞ - 0

= ∞

Daha başka değerler de test edebiliriz. (-1 ve 10 gibi)

Bu noktanın solunda türevin işareti negatif, sağında pozitif olduğundan bu nokta bir minimum noktasıdır. Başka nokta olmadığından mutlak minimum noktasıdır. O halde r değeri 6 cm olmalıdır.

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm – 3 

Karton bir kenarı etrafında 360 derece döndürülürse bir silindir meydana gelir. 

Dikdörtgenin çevresini veren formül,

Ç = 2(a + b) dir. 

120 = 2(a + b)

a + b = 60 olur. Bu uzunluk dikdörtgenin komşu iki kenarının uzunluğu toplamıdır. Bir kenara x dersek, diğer kenar 60 – x olacaktır.

Öte yandan silindirin hacmi,

V = π.r².h dir. Buradaki h ve r değerlerini x cinsinden bulmalıyız.

Yukarıdaki şekilden, 

r = x, h = 60 – x diyebiliriz.

Bu değerleri hacim formülünde yerine koyarsak,

V = π.x².(60 – x)

= π(60x² – x³)

Bu şekilde hacmi tek değişkenli bir fonksiyon haline getirdik. Bu fonksiyona f(x) diyelim.

f(x) = π(60x² – x³)

Bu fonksiyonun türevini alalım.

f’(x) = π(120x – 3x²)

Kritik noktalar,

π(120x – 3x²)= 0

3πx(40 – x) = 0

x = 0 veya x = 40

x = 0 olamayacağından, x = 40 olur.

Burada x değişkeni 0 – 60 arasında değerler alabilir. Bu aralıkta 40 noktası bir maksimum noktası mıdır?

x = 1 için,

f’(1) = 3π.1(40 – 1) > 0

x = 50 için,

f’(50) = 3π.50(40 – 50) < 0

Olduğundan x = 40 noktası bir yerel maksimum noktasıdır. O halde x = 40 için hacim,

V = π(60x² – x³)

= 3(60.40² – 40³)

= 3(96000 – 64000)

= 3(32000)

= 96000 cm³

= 96 dm³

Doğru cevap E seçeneği

Çözüm – 4 

Dikdörtgenin kenarları x ve y olsun.

S = x.y 

x.y = 64

Biz çevreyi bulacağımızdan çevrenin tek değişkenli bir fonksiyonunu elde edeceğiz.

y = 64/x

Dikdörtgenin çevresi,

Ç = 2(x + y)

Çevreyi veren fonksiyon f(x) olsun,

Bu fonksiyonun türevini alacağız.

Bu fonksiyonu 0’a eşitleyerek köklerini bulmalıyız.

x² – 64 = 0

x = +8 veya x = - 8 

x, - 8 olamayacağından x = 8 dir.

Bu nokta bir kritik noktadır.

Diğer yandan x, 0 ile 64 aralığında bir değer alabilir.

x = 8 noktasına göre türevin işaretine bakalım.

x = 8 noktasının solunda türev işareti negatif, sağında pozitif olduğundan bu nokta bir minimum noktasıdır. Dolayısıyla çevre, en küçük değerini bu noktada almaktadır.

x = 8 için fonksiyon,

= 32

Çevrenin en küçük değeri 32 olmaktadır. Dikdörtgenin bir kenarı 8 birim olduğuna göre alanının 64 birimkare olması için diğer kenarı da 8 birimkare olmalıdır. Demek ki bir dikdörtgenin çevresi en küçük değerini dikdörtgen kare olduğunda almaktadır. Buradan genelleme yaparak işlem gerektirmeyen soruların çözümünde kullanabiliriz.

Doğru cevap A seçeneği.

Çözüm – 5 

|DB| arası uzaklığa x dersek |BE| = 20 – x olur. Buradan ABC yolunu x’in bir fonksiyonu olarak ifade edebiliriz.

|ABC| = |AB| + |BC|

|AB| = √x² + 25

|BC| = √(20 – x)² + 100

|AB| + |BC| = √x² + 25 + √(20 – x)² + 100

Bu toplamı oluşturan fonksiyona f(x) diyelim.

f(x) = √x² + 25 + √(20 – x)² + 100

Maximum ve minimum noktalarını bulmak için türevini almalıyız.

Bu türevi 0’a eşitleyerek kritik noktaları bulmalıyız.

Her iki tarafın karesini alalım.

İçler dışlar çarpımı yapıyoruz.

x⁴ – 40x³ + 500x² = x⁴ – 40x³ + 400x² + 25x² – 1000x + 10000

500x² = 400x² + 25x² – 1000x + 10000

75x² + 1000x – 10000 = 0

3x² + 40x – 400 = 0

(3x – 20)(x + 20) = 0

x negatif olamayacağından,

x = 20/3 tür Fonksiyonun x = 20/3 noktasında bir minimumu vardır.

Bunu f’(x) fonksiyonunda x’e 0 ve 10 değerlerini vererek görebilirsiniz.

O halde f(20/3) değerine bakacağız.

= 25/3 + 50/3

= 75/3

= 25

Buna göre ABC yolunun en kısa mesafesi 25 km’dir.

Doğru cevap C seçeneği.

Çözüm – 6 

Sayılardan biri x diğeri y olsun.

x.y = 60

y = 60/x olur.

Bu bizim toplam fonksiyonumuz olsun.

Bu fonksiyonun türevini alıp extremum noktasını bulmalıyız.

Bu fonksiyonu 0’a eşitleyerek köklerini bulmalıyız.

(x + √60)(x - √60) = 0

x negatif olamayacağından,

x = √60 olur.

Bu nokta bir minimum noktası mıdır, inceleyelim

√60  sayısına soldan en yakın tam kare sayı 7’dir.

√60 sayısına sağdan en yakın tam kare sayı 8’dir.

√60 sayısının sağında türev işareti pozitif, solunda negatiftir. Buna göre bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Başka da yerel nokta olmadığından bu nokta mutlak minimum noktasıdır.

Biz şimdi √60 sayısına en yakın tamsayı değerlerini fonksiyona vererek tamsayı çıkıp çıkmadığına bakacağız.

√60 sayısının sağındaki ilk tamsayı 8 dir.

Bu sonuç tamsayı değildir.

İkinci tamsayı 9’dur.

= 16

x = 10 olduğunda, toplam fonksiyonu tamsayı olmaktadır ve en küçük tamsayı değerini almaktadır. Eğer sola doğru giderek 7 ve 6’yı deneseydik, x = 6 için f(x) = 16 değerini bulacaktık. Yani sayılardan biri 6, diğeri 10 olduğunda x + y toplamı en küçük değerini almaktadır. Eğer iki sayının tamsayı olması şartı aranmasaydı f(√60) sonucu istenen değeri verecekti.

f(√60) = 120/√60 olurdu ki bu yaklaşık 15,58 değerine karşılık geliyor.

Doğru cevap D seçeneği.

Çözüm – 7 

Dikdörtgenin kenarları ile çemberin yarıçapı arasında tek değişkenli bir eşitlik kurmalıyız ve bunu fonksiyon haline getirmeliyiz.

Aşağıdaki gibi bir yoldan yürüyebiliriz.

OBC üçgeninde,

x² + y² = 100

y² = 100 – x²

y = √100 – x²

Dikdörtgenin alan,

S = 2.x.y

= 2x√100 – x²

f(x) = 2x√100 – x²

Şimdi bu fonksiyonun türevini alarak extremum noktalarını bulalım.

Bu türevi 0’a eşitleyerek extremum noktalarını bulacağız. x, 0’dan büyük, 10’dan küçük bir sayı olmalıdır.

4(50 - x²) = 0

4(√50 – x)(√50 + x) = 0

x= √50 olmalıdır.

Bu sayı bir maksimum noktası mıdır?

√50 ye soldan en yakın tamsayı 7’dir.

√50 ye sağdan en yakın tamsayı 8 dir.

Buna göre √50 bir maksimum noktasıdır.

f(√50) değeri bize dikdörtgenin maksimum alanını verir.

= 100 br²

Doğru cevap B seçeneği.

Çözüm – 8

Kar = Satış fiyatı – maliyet 

Satış fiyatı = –x³ + 8x² + 26x

Maliyet = 2x² – 10x

Kar = –x³ + 6x² + 36x

Bu fonksiyonun türevini alarak extremum noktalarını bulmalıyız.

f’(x) = –3x² + 12x + 36 

-3(x² – 4x – 12) = 0

(x + 2)(x – 6) = 0

x = 6 olmalı,

x = 5 için,

f’(5) = +21

x = 7 için,

f’(7) = –27

x = 6 noktasında bir maksimum vardır. Kar fonksiyonu en yüksek değerini bu noktada almaktadır.

x = 6 için kar,

f(6) = -216 + 216 + 216

= 216 TL

Üretim fiyatı,

M = 2x² – 10x

= 72 – 60 = 12

Satış Fiyatı,

S.F = 228

Bu durumda üretici korkunç bir kar elde etmektedir. Tabii ki bu rastgele oluşturulmuş bir matematik hesabı. Siz olsanız üretim ile satış arasında böyle türevli bir bağıntı oluşturur muydunuz?

Girdi ve çıktılar arasında fonksiyonel bir ilişki olursa, bu tarz matematik hesapları size onlarca ürünün fiyatını kolayca çıkarabilecektir. Fakat asıl bu fonksiyon bilgisayar programlarına geçirilerek kısa sürede sadece 1 – 2 sayı girerek yüzlerce ürünün kar, zarar, üretim olması gereken satış fiyatlarının hesaplanması sağlanabilir.

Hayatta matematiksel zekayı kullanma becerisi olanlar ve bu yönlerini geliştirenler Matematik, Mühendislik, Tıp biliminin yanısıra hayatın her alanında çok daha başarılı olmaktadırlar.

Maksimum - Minimum Problem Soruları

Maksimum ve Minimum Noktaları Konu Anlatımı

SANATSAL BİLGİ

24/07/2019