MAKSİMUM VE MİNİMUM NOKTALARI
Matematik dersi, türevin uygulamaları konusu. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarının türev ile bulunması. Yerel extremum noktalar ve maksimum ve minimum değerler. Konu anlatımı ve örnekler.
Ekstremum Noktalar
Bir fonksiyon grafiği düşünelim. Bu grafik bazı noktalarda +y yönünde yükselmekte, bazı noktalarda –y yönünde düşmektedir. İşte grafiğin yön değiştirdiği bu noktalara ekstremum noktalar veya yerel maksimum ve yerel minimum noktaları denir.
Bu noktalardan y değerinin en büyük olduğu noktaya mutlak maksimum değeri, y değerinin en küçük olduğu noktaya mutlak minimum değeri denir.
Bir fonksiyonda çok sayıda maksimum ve minimum değeri bulunabilir ancak mutlak maksimum ve mutlak minimum değeri 1 tanedir
Şekilde bir fonksiyon grafiği görülüyor.
A, D, F noktaları fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.
E,C, B noktaları yerel minimum noktalarıdır.
A noktası mutlak maksimum noktası, B noktası mutlak minimum noktasıdır.
Bir fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar ekstremum noktalardır.
f: [a, b] → R, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.
x0 ∈ [a, b]
c > 0 ve c çok küçük bir sayı olmak kaydıyla (x0 – c, x0 + c) aralığında f(x) in en büyük değeri f(x0) ise (x0, f(x0)) noktasına , f(x) in bir yerel maksimum noktası denir.
c > 0 ve c çok küçük bir sayı olmak kaydıyla (x0 – c, x0 + c) aralığında f(x) in en küçük değeri f(x0) ise (x0, f(x0)) noktasına f(x) in bir yerel minimum noktası denir.
Şimdi biz türev yardımıyla fonksiyonların maksimum ve minimum değerlerini elde etmeyi öğreneceğiz.
Fermat Teoremi
f: [a, b] → R fonksiyonunun bir c ∈ (a, b) noktasında bir yerel minimumu veya yerel maksimumu varsa ve f fonksiyonunun c noktasında türevi varsa
f’(c) = 0 dır.
Bu teoremi biz nasıl anlayacağız? Bu teoreme göre bir fonksiyonun türevinin 0 olduğu noktada fonksiyon işaret değiştiriyorsa bu nokta bir yerel extremum noktasıdır.
Örnek:
f(x) = x4 – 3x3 + x2
Fonksiyonu veriliyor.
A) Fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz.
B) Fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum noktalarını bulunuz.
C) Fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
Önce fonksiyonun türevini hesaplayacağız.
f’(x) = 4x3 – 9x2 + 2x
Şimdi bu fonksiyonu 0 yapan değerleri bulacağız.
4x3 – 9x2 + 2x = 0
x(4x2 – 9x + 2) = 0
x(4x – 1)(x – 2) = 0
x1 = 0
x2 = 1 / 4
x3 = 2
x1 = 0 kökü kritik noktadır.
Fonksiyonun 3 kökü var. Fonksiyonun bu köklerin hangisinde işaret değiştirdiğini hesaplamamız gerekecek.
1. aralık (-∞, 0] aralığı
x = -∞ için
f’(x) = 4x3 – 9x2 + 2x
f’(-∞) = 4.(-∞)3 – 9.(-∞)2 + 2.∞
= -∞
x = -1 için
f’(-1) = -4 – 9 – 2 = - 15
Fonksiyon (-∞, 0] aralığında azalan bir fonksiyondur ve türevinin işareti negatiftir.
Burada 0 noktasının f(x) fonksiyonunun kritik noktası olduğunu belirtelim.
2. aralık [0, 1/ 4] aralığı
x= 1/5 için,
f’(1/5) = 4(1/5)3 – 9(1/5)2 + 2.1/5
= 4/125 – 9/25 + 2/5
= (4 – 45 + 50)/125
= 9/125
Bu aralıkta fonksiyon artan bir fonksiyondur. Fonksiyon türevinin işareti pozitiftir.
3. Aralık [1/4, 2] Aralığı
f’(x) = 4x3 – 9x2 + 2x
f’(1) = 4 – 9 + 2
= 6 – 9
= - 3
Bu aralıkta fonksiyonun türevi işaret değiştirmektedir. Fonksiyon azalan bir fonksiyondur.
4. Aralık [2, +∞) aralığı
f’(3) = 108 – 81 + 6
= 33
f’(∞) = 4.∞3 – 9.∞2 + 2.∞
= +∞
Bu aralıkta fonksiyon artan olmaktadır. Dolayısıyla türevinin işareti pozitiftir.
Şimdi tüm aralıkları alt alta sıralayalım.
1. (-∞, 0] aralığı f(x) azalan bir fonksiyondur
2. [0, 1/ 4] aralığı, f(x) artan bir fonksiyondur.
3. [1/4, 2] Aralığı, f(x) azalan bir fonksiyondur.
4. [2, +∞) aralığı, f(x) artan bir fonksiyondur.
Fonksiyonun türevinin işareti, her aralıkta değişmiştir. Fonksiyon bir aralıkta azalan, bir aralıkta artan fonksiyon olmaktadır.
Şimdi değerlendirmeyi yapalım.
Fonksiyonun 3 önemli noktası vardır, bu noktalar; 0, (1/ 4), 2 noktalarıdır.
Fonksiyon bu noktalarda işaret değiştirmiştir. O halde bu noktalar birer ekstremum noktalardır.
Fonksiyon 0 noktasında işaret değiştirmiş ve artışa geçmiştir. Bu nedenle 0 noktası bir yerel minimum noktasıdır.
Fonksiyon 1/4 noktasında azalmaya başlamıştır. O halde 1 /4 noktası bir yerel maksimum noktasıdır.
Fonksiyon 2 noktasında artmaya başlamıştır. O halde 2 noktası bir yerel minimum noktasıdır.
B) Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktaları
Fonksiyonun 1 tane yerel maksimum noktası vardır. Bu nedenle bu nokta aynı zamanda mutlak maksimum noktasıdır. Fonksiyon en büyük değerini bu noktada almaktadır.
f(x) = x4 – 3x3 + x2
f(1/4) = (1 / 4)4 –3(1 / 4)3 + (1/ 4)2
= 1/256 – 12/256 + 64/256
= (1 – 12 + 64)/256
= 53/256
Bu değer f(x) fonksiyonunun mutlak maksimum değeridir. Fonksiyonun mutlak maksimum noktası (1/ 4, 53/256) noktasıdır.
Yerel minimum noktası için 2 değeri test etmeliyiz.
f(0) = (0)4 –3(0)3 + (0)2
= 0
f(2) = 24 – 3.23 + 22
= 16 – 24 + 4
= - 4
Fonksiyonun mutlak minimum değeri -4, mutlak minimum noktası da bu değeri veren noktadır yani (2, - 4) noktasıdır. Fonksiyon en küçük değerini bu noktada almaktadır.
Maksimum ve Minimum Problemleri
İçbükey ve Dışbükey Fonksiyonlar
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
SANATSAL BİLGİ
20/07/2019