MUTLAK DEĞER TÜREVİ

Matematik dersi konusu. Mutlak değer içeren fonksiyonların türevlerinin alınması. Mutlak değerli fonksiyonlarda türev ve süreklilik ilişkisi. Konu anlatımı.

  

 g: A → R bir fonksiyon olmak üzere, f(x) fonksiyonu,

f(x) = |g(x)|, g(x) ≠ 0

Şeklinde verilmiş olsun.

y = f(x) fonksiyonunun türevi,

f’(x) = - g’(x),    g( x) < 0 ise,

f’(x) = g(x) ,      g(x) > 0 ise


g(x) = 0 ise sağ ve sol türevlerine bakılır.


Örnek:

y = f(x) = |x| fonksiyonunun türevini inceleyiniz


Çözüm:

f(x) = |x| şeklindeki bir fonksiyon aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır.

f(x) = -x,    x<0 ise,

f(x) = x,      x > 0 ise,

f(x) = 0,      x = 0 ise.


f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki ifadesi, a’nın 0’dan büyük veya küçük olmasına göre değişmektedir. 

Örneğin, a > 0 olsun. Bu durumda f(x) = x olur.

f’(x) = 1 olacaktır.


a < 0 olması durumunda f(x) = - x olacaktır. Bu durumda,

f’(x) = -1 olacaktır.


Buna göre, 0’dan büyük tüm reel sayılar için f(x) fonksiyonunun türevi 1’e eşit olacaktır.

0’dan küçük tüm reel sayılar için f(x) fonksiyonunun türevi ( - 1) e eşit olacaktır.


x = 0 noktası için türevi inceleyelim,

Sağ taraflı türev,

Mutlakturev_K1I1


= 1

f’(0+) = 1’dir. 


Sol taraflı türev,

Mutlakturev_K1I2


 = -1

f’(0-) = - 1’dir.



f(x) fonksiyonunun x = 0 noktasında sağ ve sol türevleri birbirine eşit değildir.

Buna göre x = 0 noktasında f(x) = |x| fonksiyonunun türevi yoktur.


Örnek:

f(x) = |3x – 12|

olduğuna göre,

f(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki türevini inceleyiniz.


Çözüm:


f(x) = 3x – 12,   x > 4 ise,

f(x) = 12 – 3x,   x < 4 ise

f(x) = 0,             x = 4 ise.


Limx→4+ (3x – 12) = 0

Limx→4-  (12 – 3x) = 0

Fonksiyon x = 4 noktasında süreklidir.

Fonksiyonun x = 4 noktasındaki türevine bakalım.

x > 4 için,

f’(x) = 3

x < 4 için,

f’(x) = - 3

Sağ ve sol türevler farklı olduğundan fonksiyonun x = 4 noktasında türevi yoktur.


Örnek:

f(x) = |(x + 5)2|

Fonksiyonunun x = -5 noktasındaki türevini inceleyiniz.


Çözüm:

f(x) = (x + 5)2,    x > - 5 ise,

f(x) = (x + 5)2   ,  x < -5 ise,

f(x) = 0,               x = -5 ise


f(x) fonksiyonu (x + 5) ifadesinin karesinin mutlak değeridir. Bu durumda x değişkeni -5’ten büyük de olsa, küçükte olsa,

f(x) = (x + 5)2 şeklindedir.

Bu durum f(x) fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterir.


Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.

x > -5 değeri için,

Limx→-5+(x + 5)2 = 0

Limx→-5- (x + 5)2 = 0

Sağ ve sol limitler mevcuttur. Fonksiyon x = -5 noktasında süreklidir.


Şimdi f(x) fonksiyonunun türevine bakalım.

f(x) = x2 + 10x + 25

f’(x) = 2x + 10

f’(-5+) = 0

f’(-5-) = 0

Sağ ve sol türevler eşit olduğundan f(x) fonksiyonu x = -5 noktasında türevlidir.



Örnek:

f(x) = |8 + x3| + |12 – 3x| + 4x

olduğuna göre, 

f’(-3) + f’(5) toplamını bulunuz.



Çözüm:

Fonksiyonun kritik noktaları -2 ve 6 noktalarıdır.

f(x) = -8 – x3 + 12 – 3x + 4x,      x < -2 ise,

f(x) = 8 + x3 + 3x – 12 + 4x,       x > 4 ise

f(x) = 8 + x3 + 12 – 3x + 4x,       -2 < x < 4


Fonksiyonun türevlerinin sorulduğu x = - 3 ve x = 5 noktaları kritik noktalar değildir.

x = -3 için,

f(x) = -8 – x3 + 12 – 3x + 4x

f(x) = -x3 + x + 4

f’(x) = -3x2 + 1

f’(-3) = - 26


x = 5 için,

f(x) = 8 + x3 + 3x – 12 + 4x

f(x) = x3 + 7x + -4

f’(x) = 3x2 + 7

f’(5) = 82


f'(-3) + f'(5) = - 26 + 82 = 56


Logaritmik Fonksiyonların Türevi

Parametrik Fonksiyonların Türevi



SANATSAL BİLGİ

17/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI