MUTLAK DEĞER TÜREVİ
Matematik dersi konusu. Mutlak değer içeren fonksiyonların türevlerinin alınması. Mutlak değerli fonksiyonlarda türev ve süreklilik ilişkisi. Konu anlatımı.
g: A → R bir fonksiyon olmak üzere, f(x) fonksiyonu,
f(x) = |g(x)|, g(x) ≠ 0
Şeklinde verilmiş olsun.
y = f(x) fonksiyonunun türevi,
f’(x) = - g’(x), g( x) < 0 ise,
f’(x) = g(x) , g(x) > 0 ise
g(x) = 0 ise sağ ve sol türevlerine bakılır.
Örnek:
y = f(x) = |x| fonksiyonunun türevini inceleyiniz
Çözüm:
f(x) = |x| şeklindeki bir fonksiyon aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır.
f(x) = -x, x<0 ise,
f(x) = x, x > 0 ise,
f(x) = 0, x = 0 ise.
f(x) fonksiyonunun bir a noktasındaki ifadesi, a’nın 0’dan büyük veya küçük olmasına göre değişmektedir.
Örneğin, a > 0 olsun. Bu durumda f(x) = x olur.
f’(x) = 1 olacaktır.
a < 0 olması durumunda f(x) = - x olacaktır. Bu durumda,
f’(x) = -1 olacaktır.
Buna göre, 0’dan büyük tüm reel sayılar için f(x) fonksiyonunun türevi 1’e eşit olacaktır.
0’dan küçük tüm reel sayılar için f(x) fonksiyonunun türevi ( - 1) e eşit olacaktır.
x = 0 noktası için türevi inceleyelim,
Sağ taraflı türev,
= 1
f’(0+) = 1’dir.
Sol taraflı türev,
= -1
f’(0-) = - 1’dir.
f(x) fonksiyonunun x = 0 noktasında sağ ve sol türevleri birbirine eşit değildir.
Buna göre x = 0 noktasında f(x) = |x| fonksiyonunun türevi yoktur.
Örnek:
f(x) = |3x – 12|
olduğuna göre,
f(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki türevini inceleyiniz.
Çözüm:
f(x) = 3x – 12, x > 4 ise,
f(x) = 12 – 3x, x < 4 ise
f(x) = 0, x = 4 ise.
Limx→4+ (3x – 12) = 0
Limx→4- (12 – 3x) = 0
Fonksiyon x = 4 noktasında süreklidir.
Fonksiyonun x = 4 noktasındaki türevine bakalım.
x > 4 için,
f’(x) = 3
x < 4 için,
f’(x) = - 3
Sağ ve sol türevler farklı olduğundan fonksiyonun x = 4 noktasında türevi yoktur.
Örnek:
f(x) = |(x + 5)2|
Fonksiyonunun x = -5 noktasındaki türevini inceleyiniz.
Çözüm:
f(x) = (x + 5)2, x > - 5 ise,
f(x) = (x + 5)2 , x < -5 ise,
f(x) = 0, x = -5 ise
f(x) fonksiyonu (x + 5) ifadesinin karesinin mutlak değeridir. Bu durumda x değişkeni -5’ten büyük de olsa, küçükte olsa,
f(x) = (x + 5)2 şeklindedir.
Bu durum f(x) fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterir.
Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.
x > -5 değeri için,
Limx→-5+(x + 5)2 = 0
Limx→-5- (x + 5)2 = 0
Sağ ve sol limitler mevcuttur. Fonksiyon x = -5 noktasında süreklidir.
Şimdi f(x) fonksiyonunun türevine bakalım.
f(x) = x2 + 10x + 25
f’(x) = 2x + 10
f’(-5+) = 0
f’(-5-) = 0
Sağ ve sol türevler eşit olduğundan f(x) fonksiyonu x = -5 noktasında türevlidir.
Örnek:
f(x) = |8 + x3| + |12 – 3x| + 4x
olduğuna göre,
f’(-3) + f’(5) toplamını bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun kritik noktaları -2 ve 6 noktalarıdır.
f(x) = -8 – x3 + 12 – 3x + 4x, x < -2 ise,
f(x) = 8 + x3 + 3x – 12 + 4x, x > 4 ise
f(x) = 8 + x3 + 12 – 3x + 4x, -2 < x < 4
Fonksiyonun türevlerinin sorulduğu x = - 3 ve x = 5 noktaları kritik noktalar değildir.
x = -3 için,
f(x) = -8 – x3 + 12 – 3x + 4x
f(x) = -x3 + x + 4
f’(x) = -3x2 + 1
f’(-3) = - 26
x = 5 için,
f(x) = 8 + x3 + 3x – 12 + 4x
f(x) = x3 + 7x + -4
f’(x) = 3x2 + 7
f’(5) = 82
f'(-3) + f'(5) = - 26 + 82 = 56
Logaritmik Fonksiyonların Türevi
Parametrik Fonksiyonların Türevi
SANATSAL BİLGİ
17/05/2018