PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Parametrik fonksiyonların türevlerinin bulunması ile ilgili kurallar ve çözümlü örnekler.



Parametrik Fonksiyonlar

Bazı eğriler fonksiyon çiftleriyle gösterilmektedir.

y = f(x) fonksiyonu,

t ϵ R olmak üzere,

y = g(x)

x = h(t)

Biçiminde tanımlanmışsa, y = f(x) fonksiyonuna parametrik fonksiyon adı verilir.

Bu denklemlerdeki t değişkenine parametre adı verilir.

Parametrik fonksiyonlarda t parametresi kolaylıkla yok edilebiliyorsa, t yok edilerek elde edilen fonksiyonun türevi alınır.

t parametresi yok edilemiyorsa aşağıdaki zincir kuralından parametrik fonksiyonun türevi hesaplanabilir.

y = g(x)

x = h(t)

h’(t) ≠ 0 olmak üzere,

dy 
= dy
.dt
dx
dt
dx




= g’(t)
h’(t)




Örnek:

y = 3t5 + 3t

x = 5t3 + 6t

Olduğuna göre,

dy/dx türevini bulunuz.


Çözüm:

 x ve y t’ye bağlı fonksiyonlar halinde gösterilmişlerdir. Bu fonksiyonların herbirinin t’ye göre türevlerini alarak bunları birbirine oranlarsak istenen türevi buluruz.

y = 3t5 + 3t

y’ = 15t4 + 3


x = 5t3 + 6t

x’ = 15t2 + 6

dy 
=3(5t4 + 1)
3(5t2 + 2)
dx




=5t4 + 1
5t2 + 2




Örnek:

y = 6t6 – 15t2

x = 12t6 – 30t2


Fonksiyonları veriliyor.


A) dy/dt türevini hesaplayınız.

B) dx/dt türevini hesaplayınız.

C) dy/dx türevini hesaplayınız.


Çözüm:

A) y’nin t’ye göre türevi,

dy/dt = 36t5 – 30t


B) x’in t’ye göre türevi,

dx/dt = 72t5 – 60t


C) y’nin x’e göre türevi,

dy
=
dy
dt

dt
dx
dx






=36t5 – 30t
72t5 – 60t




=6(6t5 – 5t)
12(6t5 – 5t)




=6
12




=1
2




Örnek:

y =3t + 5

x = √6t – 4 


Olduğuna göre x = 5 için f’(x) nedir?


Çözüm:

Bu örnekte t parametresi kolayca yok edilebilmektedir. t parametresini yok ederek y = f(x) fonksiyonunu elde edeceğiz.


y =12t + 5

x = √6t – 4 


x’in karesini alalım.

x2 = 6t – 4 


Şimdi denklem sistemi aşağıdaki gibi olur.

y = 12t + 5

x2 = 6t – 4


2. denklemi -2 ile çarpalım.

y = 12t + 5

-2x2 = 8 – 12t


İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

y – 2x2 = 13

y = 2x2 + 13

Şimdi dy/dx türevini bulalım.

y’ = 4x 

x = 5 için y’nin türevi,

f’(5) = 4.5 = 20



Örnek:

y = 4u6 – 12u

x = 3u4 + 15u


Olduğuna göre,

dy/dx türevini hesaplayınız.


Çözüm:

dy/du = 24u5 – 12

dx/du = 12u3 + 15


dy 
= 24u5 – 12
12u3 + 15
dx





Örnek:

t = 5u3 + 9u2

x = 3u4 – 7u

olduğuna göre, u = 1 için dt/dx türevini hesaplayınız.


Çözüm:

dt/du = 15u2 + 18u

dx/du = 12u3 – 7



dt
= 15u2 + 18u
12u3 – 7
dx






dt
(2) = 15 + 18
5
dx




= 33
5





Örnek:

y = e3t

x = e2t


Olduğuna göre dy/dx türevini hesaplayınız.


Çözüm:

x’ = 2e2t

y’ = 3e3t


dy 
3e3t
2e2t
dx




= 3e(3t – 2t) 
2




= 3et
2




Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi

Parametrik Fonksiyonların Türevi



SANATSAL BİLGİ

18/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI