PARAMETRİK FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Parametrik fonksiyonların türevlerinin bulunması ile ilgili kurallar ve çözümlü örnekler.

Parametrik Fonksiyonlar

Bazı eğriler fonksiyon çiftleriyle gösterilmektedir.

y = f(x) fonksiyonu,

t ϵ R olmak üzere,

y = g(x)

x = h(t)

Biçiminde tanımlanmışsa, y = f(x) fonksiyonuna parametrik fonksiyon adı verilir.

Bu denklemlerdeki t değişkenine parametre adı verilir.

Parametrik fonksiyonlarda t parametresi kolaylıkla yok edilebiliyorsa, t yok edilerek elde edilen fonksiyonun türevi alınır.

t parametresi yok edilemiyorsa aşağıdaki zincir kuralından parametrik fonksiyonun türevi hesaplanabilir.

y = g(x)

x = h(t)

h’(t) ≠ 0 olmak üzere,

Örnek:

y = 3t⁵ + 3t

x = 5t³ + 6t

Olduğuna göre,

dy/dx türevini bulunuz.

Çözüm:

 x ve y t’ye bağlı fonksiyonlar halinde gösterilmişlerdir. Bu fonksiyonların herbirinin t’ye göre türevlerini alarak bunları birbirine oranlarsak istenen türevi buluruz.

y = 3t⁵ + 3t

y’ = 15t⁴ + 3

x = 5t³ + 6t

x’ = 15t² + 6

Örnek:

y = 6t⁶ – 15t²

x = 12t⁶ – 30t²

Fonksiyonları veriliyor.

A) dy/dt türevini hesaplayınız.

B) dx/dt türevini hesaplayınız.

C) dy/dx türevini hesaplayınız.

Çözüm:

A) y’nin t’ye göre türevi,

dy/dt = 36t⁵ – 30t

B) x’in t’ye göre türevi,

dx/dt = 72t⁵ – 60t

C) y’nin x’e göre türevi,

Örnek:

y =3t + 5

x = √6t – 4 

Olduğuna göre x = 5 için f’(x) nedir?

Çözüm:

Bu örnekte t parametresi kolayca yok edilebilmektedir. t parametresini yok ederek y = f(x) fonksiyonunu elde edeceğiz.

y =12t + 5

x = √6t – 4 

x’in karesini alalım.

x² = 6t – 4 

Şimdi denklem sistemi aşağıdaki gibi olur.

y = 12t + 5

x² = 6t – 4

2. denklemi -2 ile çarpalım.

y = 12t + 5

-2x² = 8 – 12t

İki denklemi taraf tarafa toplayalım.

y – 2x² = 13

y = 2x² + 13

Şimdi dy/dx türevini bulalım.

y’ = 4x 

x = 5 için y’nin türevi,

f’(5) = 4.5 = 20

Örnek:

y = 4u⁶ – 12u

x = 3u⁴ + 15u

Olduğuna göre,

dy/dx türevini hesaplayınız.

Çözüm:

dy/du = 24u⁵ – 12

dx/du = 12u³ + 15

Örnek:

t = 5u³ + 9u²

x = 3u⁴ – 7u

olduğuna göre, u = 1 için dt/dx türevini hesaplayınız.

Çözüm:

dt/du = 15u² + 18u

dx/du = 12u³ – 7

Örnek:

y = e^3t

x = e^2t

Olduğuna göre dy/dx türevini hesaplayınız.

Çözüm:

x’ = 2e^2t

y’ = 3e^3t

Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi

Parametrik Fonksiyonların Türevi

SANATSAL BİLGİ

18/05/2018