PARÇALI FONKSİYONLARIN TÜREVİ

Matematik dersi türevler konusu. Parçalı fonksiyonların türevlerinin bulunması. Fonksiyonların kritik noktalarında sürekliliklerinin ve türevlerinin incelenmesi. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Parçalı Fonksiyonlar

Farklı sayı aralıklarında, farklı biçimlerde tanımlanan fonksiyonlara parçalı fonksiyonlar denilmekteydi. 


Parçalı fonksiyonların kritik noktalarının türevi bulunmak istendiğinde fonksiyonun bu noktalarda sürekli olup olmadığı incelenir. Eğer fonksiyon kritik noktalarda sürekli ise bu noktadaki sağ ve sol türevlerine bakılır. Sağ ve sol türevler birbirine eşit ise fonksiyon kritik noktalarda türevlidir.


Eğer kritik noktaların dışında bir noktada fonksiyonun türevi sorulursa fonksiyonun tanımlı olduğu bölgede türev alınır.

Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için fonksiyonun o noktada sürekli olması gereklidir.

Örnek:

f(x) = 3x3 + 1,  x > 2 ise

f(x) =  x2 – 1,    x≤ 2 ise


f(x) fonksiyonun x = 2 noktasında türevli olup olmadığını açıklayınız.


Çözüm 

x = 2 noktası için f(x) fonksiyonu 2 şekilde tanımlanmaktadır; x değişkeninin 2’den büyük olduğu durumlar ve x değişkeninin 2’ye eşit veya daha küçük olduğu durumlar.

2 değerine sağdan yaklaşırsak, 

f(x) = 3x3 +1 fonksiyonunu,

2 değerine soldan yaklaşırsak,

 f(x) = x2 -1 fonksiyonunu kullanırız.


Fonksiyon x = 2 noktasında türevli olsa bile sürekliliği olmaması halinde türevli değildir.


Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim,

Limx→2+ (3x3 + 1)

= 3.8 + 1 = 25


Limx→2- (x2 – 1)

= 4 – 1 = 3 

Limx→2+ f(x) ≠ Limx→2-  f(x) olduğundan fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir ve bu nedenle türevsizdir.


Örnek:

f(x) = 2x2 + 3,   x ≥ 3 ise

f(x) = x3 – 6,      x< 3 ise,


1- f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasında türevini inceleyiniz.

2- f(x) fonksiyonunun x = ( - 1) noktasında türevini inceleyiniz.

3- f(x) fonksiyonunun x = 5 noktasındaki türevini inceleyiniz.

Çözüm:

1- 

f(x) fonksiyonunun sürekliliğini incelemek için sağ ve sol limitlere bakalım,

Limx→3+ (2x2 + 3) = 2.9 + 3 

= 21

Limx→3- (x3 - 6) = 27 – 6 

= 21


Sağ ve sol limitler eşittir. Buna göre fonksiyon x = 3 noktasında süreklidir.

Şimdi fonksiyonun sağ ve sol taraflı türevlerine bakalım.


x ≥ 3 ise

f’(x) = 4x

f’(3) = 12

x < 3 ise,

f’(x) = 3x2

f’(3) = 27


Sağ ve sol türevler birbirine eşit olmadığından fonksiyon bu noktada türevli değildir.

2- 

x = ( - 1) değeri için f(x) fonksiyonu,

f(x) = x3 – 6 şeklinde tanımlanmıştır.

Limx→-1+ (x3 – 6) = - 5

Limx→-1-  (x3 – 6) = - 5

Sağ ve sol limitler eşittir, fonksiyon bu noktada süreklidir.

f’(x) = 3x2 olduğundan,

f’( - 1) = 3 olarak bulunur.

3-

x = 5 noktasında fonksiyon,

f(x) = 2x2 + 3 şeklinde tanımlanmıştır.

Limx→5+ (2x2 + 3) = 53

Limx→5-  (2x2 + 3) = 53

Sağ ve sol limitler birbirine eşittir.

f’(x) = 4x olduğundan,

f’(5) = 20 olarak bulunur.



Örnek:

f(x) = 12x2 – 3,    x ≥ 1

f(x) = 8x3 + 1,     x < 1


olduğuna göre, 

1- f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevini inceleyiniz.

2- f(x) fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini inceleyiniz.

3- f(x) fonksiyonunun x = -2 noktasındaki türevini inceleyiniz.


Çözüm:

1- 

Fonksiyonun sürekliliğini inceleyelim.

Limx→1+  (12x2 – 3) = 9

Limx→1-  (8x3 + 1) = 9

f(x) fonksiyonu x = 1 noktasında süreklidir.


x ≥ 1 için,

f(x) = 12x2 – 3

f’(x) = 24x

f’(1) = 24


x < 1 için,

f(x) = 8x3 + 1

f’(x) = 24x

f’(1) = 24

Fonksiyonun sağ ve sol türevleri eşittir. Öyleyse f(x) fonksiyonu x = 1 noktasında türevlidir.

2- 

x = 3 noktasında f(x) fonksiyonu,

f(x) = 12x2 – 3 şeklinde tanımlanmıştır.

Limx→3+ (12x2 – 3) = 105

Limx→3- (12x2 – 3) = 105

Sağ ve sol limitler eşittir.

f’(x) = 24x olduğundan,

f’(3) = 72 dir.


3- 

x = -2 noktasında f(x) fonksiyonu 8x3 + 1 şeklinde tanımlanmıştır.

Limx→-2+ (8x3 + 1) = - 63

Limx→-2-  (8x3 + 1) = - 63

Sağ ve sol limitler eşittir. O halde fonksiyon bu noktada süreklidir.

f’(x) = 24x2  olduğundan,

f’( - 2) = 96 olarak bulunur.



Parametrik Fonksiyonların Türevi

Tanx ve Cotx Fonksiyonlarının Türevi


SANATSAL BİLGİ

23/05/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI