Özel Ders

TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

Matematik dersi, trigonometri konusu. Adım adım tanx grafiğinin çizilmesi. Konu anlatımı ve örnekler.

Tanx = sinx/cosx olduğundan, tanx fonksiyonunun grafiği sinx/cosx fonksiyonunun grafiğidir. y = sinx/cosx eşitliğinde cosx = 0 olursa fonksiyon tanımsız olacağından, grafik cosx ≠ 0 koşuluna göre çizilir.

Tanx fonksiyonunun periyodu π idi. Şimdi bir periyot boyunca tanx fonksiyonuna çeşitli değerler vererek buna karşılık gelen y değerlerini elde edelim.

x = 0 için, tan0 = 0

x = 30 için, tan(π/6) = 1/√3 = 0,58

x = 45 için, tan(π/4) = 1

x = 60 için, tan(π/3) = √3 = 1,73

x = 90 için, tan(π/2) = tanımsız.

x = 120 için, tan(2π/3) = -√3 = - 1,73

x = 135 için, tan(3/4) 0 = - 1

x = 150 için, tan(5π/6) = - 1/√3 = -0,58

x = π için, tan(π) = 0

x = 210 için, tan(7π/6) = 1/√3 = 0,58

x = 225 için, tan(5π/4) = 1

x = 240 için tan(4/3) = √3 = 1,73

x = 270 için, tan(3π/2) = tanımsız

x = 300 için, tan(5π/3) = -√3 = - 1,73

x = 315 için, tan(7π/4) = -1

x = 330 için, tan(11π/6) = - 1/√3 = -0,58

x = 360 için, tan(2π) = 0

Yukarıda tanx fonksiyonunun belirli değerlerini 0 – 2π aralığı için hesapladık. Tanx fonksiyonunun periyodu π dir. Nitekim, 0 – π aralığında aldığı değerler ile, π – 2π aralığında aldığı değerler aynıdır.

Buna göre biz tanx fonksiyonunun grafiğini önce bir periyotta çizeceğiz. Grafiğin diğer parçaları sinx ve cosx de olduğu gibi bir periyotluk grafiğin birleştirilmiş parçaları halinde olacak.

Şimdi tanx fonksiyonunun grafiğini 0 – π aralığında çizelim.

Tanx_grafik1

Fonksiyon grafiği 0 – π/2 aralığında 1 numaralı grafikteki gibi, π/2 – π aralığında 2 nolu grafikteki gibidir. X = π/2 değerinde cos(π/2) = 0 olmaktadır. Dolayısıyla, tanx fonksiyonu x bu değere yaklaşırken sonsuza gitmektedir ve asla tam olarak bu çizgiye ulaşamaz. π/2 – π aralığında bu kez sonsuzdan başlayıp 0 noktasına gelmektedir. Her periyotta bu durum tekrarlanmaktadır.

Şimdi fonksiyonun ( - π – 0) aralığındaki grafiğini de çizelim.

Fonksiyon periyodiktir. Fonksiyonun ( 0, –π/2) aralığındaki grafiği (π/2, π) grafiğinin aynısı olacaktır. ( –π/2, – π) aralığındaki grafiği ise( 0, π/2) aralığındaki grafiğinin aynısı olacaktır.

Tanx_grafik2

Fonksiyon periyodik olduğundan ( – π, 0) aralığındaki grafik, (0, π) aralığındaki grafiğin aynısı olacaktır. Her π aralığındaki grafik parçası çiftini çizersek ters biçimde uç uca eklenmiş çizgiler görürüz. Burada uç uca eklenmiş çizgiler kesinlikle aynı periyoda ait değildir. Komşu periyodun grafiğinin bir parçasıdır. Yukarıdaki grafikte 3 ve 4 numaralı parçalar bir periyodun, 1 ve 2 numaralı parçalar başka bir periyodun grafiğidir.

-2π - +2π aralığı boyunca grafik çizecek olursak aşağıdaki gibi bir grafik ortaya çıkacaktır. Ders kitaplarınızda ve diğer kaynaklarda gördüğünüz tanx grafiği bu şekildedir ve yukarıdaki gibi çizilmektedir. Aslında çizimi ezberlerseniz gözünüz kapalı çiziyorsunuz zaten. Ama işin tekniğini ve mantığını bilmeden çizmek ile nasıl çizdiğini bilerek çizmek farklı tabii.

Bu arada tanx için tanım kümesini de yazalım.

Tanx: R – {α | α = (2k + 1) . π/2 , k ϵ Z}

Yani tanx fonksiyonu π/2 nin tek katları dışındaki reel sayılarda tanımlıdır.

Tanx_grafik3