TANX VE COTX DENKLEMLERİ
Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. tanx = a , cotx = a, cot(ax) = b, tan(ax) = b, cot (ax + b) = c, tan(ax + b) = c şeklindeki denklemlerin çözümü. Konu anlatımı ve örnekler.
Tanx = a Denkleminin Çözümü
tanx = a denkleminin kökleri,
x = ϑ + k.π (k ∈ Z)
şeklindedir.
Örnek:
tanx = 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
tan(π/4) = 1 olduğundan, denklemi çözen x değerleri,
x = π/4 + k.π şeklindedir. Buna göre denklemin çözüm kümesi,
Ç. K. {x | x = π/4 + k.π, k ∈ Z}
π = 180, ve k herhangi bir doğal sayı olduğundan, yukarıdaki çözüm kümesine göre k = 4 için
x = 45 + 720 = 765
tanx = tan765 = 1 dir.
Çözüm kümesi doğrudur.
Örnek:
tan(2x + 30) = √3 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
Tanx denklemi için çözüm kümesi,
x = ϑ + k.π (k ∈ Z) şeklindedir.
tan60 = √3 olduğundan ϑ = 60 olarak alacağız.
2x + 30 = 60 + k.180
2x = 30 + k.180
x = 15 + k.90
Buna göre denklemin çözüm kümesi,
Ç.K. {x | x = 15 + k.90, k ∈ Z}
Şeklindedir. Bu çözüm kümesine göre,
k = 10 olsun,
x = 15 + 900 = 915
tan(2x + 30) =tan1860
= √3
Çözüm kümesi doğrudur.
Cotx = a Denkleminin Çözümü
tanx = sinx/cosx
cotx = cosx/sinx olduğundan
tanx ve cotx denklemlerinin çözüm kümeleri benzerdir.
cotx = a denkleminin kökleri,
x = ϑ + k.π (k ∈ Z)
şeklindedir.
Örnek:
Cotx = 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
cot(π/4) = 1 olduğundan çözüm kümesi,
Ç.K = {x | x = π/4 + k.π, k ∈ Z}
Şeklindedir.
Örnek:
Cotx = √3 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
cot30 = √3 olduğundan,
Ç.K = {x | x = 30 + k.180, k ∈ Z}
Örnek:
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
5x + 20 = 120 + k.180
5x = 100 + k.180
x = 20 + k.36
Ç.K. {x | x = 20 + k.36, k ∈ Z}
Bu çözüm kümesine göre,
k = 6 olsun,
x = 20 + 216 = 236
cot(5x + 20) = cot(5.236 + 20)
= cot1200
= -1/√3
Çözüm kümesi doğrudur.
Örnek:
Denkleminin [3π/2 – 2π] aralığındaki kökü x1 olduğuna göre,
tanx1 = değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Cos2 x = 1 – sin2x tir.
Her iki tarafa 1 ekleyelim.
| – 3 | + 1 = sin2x + 2sinx + 1 |
| 4 |
Sinx + 1 = 1/ 2
Sinx = -1/2
Denklemin 270° ile 360° arasındaki kökü isteniyor.
x = {x | x = 7π/6 + k.2π V x = -π/6 + k.2π, k ∈ Z}
sinx denkleminin kökleri yukarıdaki gibidir. Biz [3π/2 – 2π] aralığındaki köklerini alacağız.
k = 0 için
x1 = 7π/6 veya x1 = -π/6 olur. Bu değerler aradığımız aralık değerleri değil.
k = 1 için
x1 = 19π/6 veya x1 = 11π/6 olur.
19π/6 = 570° dir. Bu istediğimiz aralıktaki kök değil.
11π/6 = 330° dir.
Bu kök aradığımız köktür.
Cos330 = cos(360 – 30)
= √3/2 dir.
sin330 = sin(360 - 30)
= -1/2 dir.
Cosx Denklemleri
Sinx Denklemleri
SANATSAL BİLGİ
15/07/2019