TANX VE COTX DENKLEMLERİ

Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. tanx = a , cotx = a, cot(ax) = b, tan(ax) = b, cot (ax + b) = c, tan(ax + b) = c şeklindeki denklemlerin çözümü. Konu anlatımı ve örnekler.

Tanx = a Denkleminin Çözümü

tanx = a denkleminin kökleri,

x = ϑ + k.π (k ∈ Z)

şeklindedir.

Örnek:

tanx = 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.

Çözüm:

tan(π/4) = 1 olduğundan, denklemi çözen x değerleri,

x = π/4 + k.π şeklindedir. Buna göre denklemin çözüm kümesi,

Ç. K. {x | x = π/4 + k.π, k ∈ Z}

π = 180, ve k herhangi bir doğal sayı olduğundan, yukarıdaki çözüm kümesine göre k = 4 için

x = 45 + 720 = 765

tanx = tan765 = 1 dir.

Çözüm kümesi doğrudur. 

Örnek:

tan(2x + 30) = √3  denkleminin çözüm kümesini yazınız.

Çözüm:

Tanx denklemi için çözüm kümesi,

x = ϑ + k.π (k ∈ Z) şeklindedir.

tan60 = √3  olduğundan ϑ = 60 olarak alacağız.

2x + 30 = 60 + k.180

2x = 30 + k.180

x = 15 + k.90

Buna göre denklemin çözüm kümesi,

Ç.K. {x | x = 15 + k.90, k ∈ Z}

Şeklindedir. Bu çözüm kümesine göre,

k = 10 olsun,

x = 15 + 900 = 915

tan(2x + 30) =tan1860

= √3 

 Çözüm kümesi doğrudur.

Cotx = a Denkleminin Çözümü

tanx = sinx/cosx 

cotx = cosx/sinx olduğundan

tanx ve cotx denklemlerinin çözüm kümeleri benzerdir.

cotx = a denkleminin kökleri,

x = ϑ + k.π (k ∈ Z)

şeklindedir.

Örnek:

Cotx = 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.

Çözüm:

cot(π/4) = 1 olduğundan çözüm kümesi,

Ç.K = {x | x = π/4 + k.π, k ∈ Z}

Şeklindedir.

Örnek:

Cotx = √3 denkleminin çözüm kümesini yazınız.

Çözüm:

cot30 = √3 olduğundan,

Ç.K = {x | x = 30 + k.180, k ∈ Z}

Örnek:

 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

5x + 20 = 120 + k.180

5x = 100 + k.180

x = 20 + k.36

Ç.K. {x | x = 20 + k.36, k ∈ Z}

Bu çözüm kümesine göre,

k = 6 olsun,

x = 20 + 216 = 236

cot(5x + 20) = cot(5.236 + 20)

= cot1200

= -1/√3   

Çözüm kümesi doğrudur.

Örnek:

Denkleminin [3π/2 – 2π] aralığındaki kökü x1 olduğuna göre,

tanx1 = değerini hesaplayınız.

Çözüm:

Cos² x = 1 – sin²x tir.

Her iki tarafa 1 ekleyelim.

Sinx + 1 = 1/ 2

Sinx = -1/2

Denklemin 270° ile 360° arasındaki kökü isteniyor.

x = {x | x = 7π/6 + k.2π V x = -π/6 + k.2π, k ∈ Z}

sinx denkleminin kökleri yukarıdaki gibidir. Biz [3π/2 – 2π] aralığındaki köklerini alacağız.

k = 0 için

x1 = 7π/6 veya x1 = -π/6 olur. Bu değerler aradığımız aralık değerleri değil.

k = 1 için

x1 = 19π/6 veya x1 = 11π/6 olur.

19π/6 = 570° dir. Bu istediğimiz aralıktaki kök değil.

11π/6 = 330° dir.

Bu kök aradığımız köktür.

Cos330 = cos(360 – 30)

= √3/2 dir.

sin330 = sin(360 - 30)

= -1/2 dir.

Cosx Denklemleri

Sinx Denklemleri

SANATSAL BİLGİ

15/07/2019