TANX VE COTX FONKSİYONLARININ TÜREVİ

Matematik dersi türevler konusu. Tanx ve cotx fonksiyonlarının türevlerinin bulunması ile ilgili kurallar ve çözümlü örnek sorular.

1- Tanx Fonksiyonunun Türevi

A)

f(x) = tanx 

Fonksiyonunun türevi,

f’(x) = 1 + tan²x şeklindedir.

Olduğundan tanx fonksiyonunun türevi aynı zamanda,

 sec²x 'e eşittir.

B)

u(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

y = tanu(x) fonksiyonunun türevi,

y’ = u’(x) . [1 + tan²u(x)] 

olacağından,

= u’(x) . sec²u(x) olur.

2- Cotx Fonksiyonunun Türevi

A)

f(x) = cotx

 fonksiyonunun türevi,

f’(x) = -(1 + cot²x) şeklindedir.

Olduğundan,

f'(x)= -cosec²x olur.

B)

u(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,

y = cotu(x) fonksiyonunun türevi,

y’ = - u’(x) . [1 + cot²u(x)] 

= - u’(x) . cosec²u(x)

Örnek:

y = tan(5x⁴)

olduğuna göre y’nin türevini hesaplayınız.

Çözüm:

fonksiyon y = tanu(x) şeklinde bir fonksiyondur.

u = 5x⁴  tür.

y = tanu(x) ise,

y’ = u’(x) . [1 + tan²u(x)] olur. Buna göre,

y’ = (5x⁴)’ . [1 + tan²(5x⁴)]

y’ = 20x³ + 20x³ . tan²(5x⁴)

Örnek:

y = 5tan²(x²) olduğuna göre, y’ ni bulunuz.

Çözüm:

y’ = 5 . 2. tanx² . [tan (x²)]’

y’ = 10tanx² . (x²)’ . [1 + tan²(x²)]

y’ = 20x.tanx² . [1 + tan²(x²)]

y’ = 20x. tanx² + 20xtan³x²

Örnek:

y = tan⁵x + cot(x² + 1)

Fonksiyonunun türevini bulunuz.

Çözüm:

Her terimin ayrı ayrı türevini alalım.

(tan⁵x)’ =5tan⁴x . (tanx)’

= 5tan⁴x . (1 + tan²x)

= 5tan⁴x + 5tan⁶x

cot(x² + 1)’ = (x² + 1)’ . [-(1 + cot²(x²+1)]

= 2x . (-1 – cot²(x² + 1))

= -2x – 2xcot²(x² + 1)

Buna göre y fonksiyonunun türevi,

y’ = 5tan⁴x + 5tan⁶x – 2x – 2xcot²(x² + 1)

Örnek:

y = tan³(3x) – cot³(3x)

olduğuna göre y’nin türevini bulunuz.

Çözüm:

Her terimin ayrı ayrı türevini alıp bu türevleri toplayalım.

tan³(3x)’ = 3tan²(3x) . (tan3x)’

= 3tan²(3x) . (3x)’ . [1 + tan²(3x)]

= 3tan²(3x) . 3. [1 + tan²(3x)]

= 9tan²(3x) + 9tan⁴(3x)

cot³(3x)’ = 3cot²(3x) . (3x)’ . [(cot(3x)]’

= 3cot²(3x) . 3 . [-(1 + cot²(3x)]

= 9cot²(3x) . (-1 – cot²(3x))

= -9cot²(3x) – 9cot⁴(3x)

Bu iki türevi birleştirirsek,

y’ = 9tan²(3x) + 9tan⁴(3x) -9cot²(3x) – 9cot⁴(3x)

Örnek:

y = 5tanx² + 3cotx²

Olduğuna göre, y’ ni hesaplayınız.

Çözüm:

Her terimin ayrı ayrı türevlerini alalım.

(5tanx²)’ = 5.2x . [1 + tan²x²)

= 10x . sec²x²

(3cotx²)’ = 3 . 2x . [-1 –cot²x²]

= 6x . ( - cosec²x²)

= - 6xcosec²x²

Bu iki türevi birleştirirsek,

y’ = 10x . sec²x² – 6x.cosec²x²

Örnek:

y = tan(cos3x)

Olduğuna göre,

y’ ni bulunuz.

Çözüm:

y’ = (1 + tan²(cos3x)) . (cos3x)’

= sec²(cos3x) . 3 . (-sin(cos3x)

= -3sec²(cos3x) . sin(cos3x)

Parçalı Fonksiyonların Türevi

Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

SANATSAL BİLGİ

29/05/201