TEĞET VE NORMAL DENKLEMLERİ

Türevin uygulamaları. Türevin geometrik yorumu. Bir fonksiyona teğet olan doğrunun eğimini ve denklemini bulmak. Teğet doğrusunun normalinin bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


Türevin Uygulamaları: Teğet ve Normal Denklemleri


Turev_teget1


Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun denklemi aşağıdaki formül ile bulunmaktadır.

Doğrunun bilinen noktaları (x0, y0) olmak üzere,

y– y0 = m(x – x0)

Bu eşitliği düzenleyerek ax + by + c şeklinde bir doğru denklemi meydana getirebiliriz. Burada eğimi bilmek önemlidir.

Bir f(x) fonksiyonuna x0 noktasından teğet olan doğrunun eğimi f’(x0) dır. Yani f(x) fonksiyonunun türevini alıp burada doğrunun teğet geçtiği noktanın x değerini verirsek doğrunun eğimini elde ediyoruz.

f(x) fonksiyonuna teğet olan doğruya bu noktada dik olan k doğrusuna normal diyoruz.

Normalin denklemi,

y – y0 =–1  . (x – x0)
f’(x0)




eşitliği ile bulunur.


Örnek:

f(x) = 3x2 – 4x + 2 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini yazınız.


Çözüm:

Teğetin denklemi f’(2) dir.

f’(x) = 6x – 4 

f’(2) = 6.2 – 4 = 8


Teğetin eğimi 8’dir. Bir noktası (2, y0) dır. buradaki y değerini bulalım.


f(2) = 3.22 – 4.2 – 2

= 12 – 8 + 2 

= 6

Doğrunun fonksiyona teğet olduğu nokta A(2, 6) noktasıdır. Bu doğrunun denklemini yazalım.

y – y0 = m.(x – x0)

= y – 6 = 8(x – 2)

= y – 6 = 8x – 16

8x – y – 10 = 0



Normal denklemini de yazalım.

y – 6 = –x – 2
8




8y – 48 = 2 – x  

x + 8y – 50 = 0


Örnek:

f(x) = 2x2 – 5x + m

Fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğeti (1, -9) noktasından geçmektedir.

Bu teğetin x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?


Çözüm:

Teğet denklemi bulunarak bu denklemde y = 0 için x değeri bulunmalıdır.

Fonksiyona teğet olan doğrunun eğimi,

f’(x0) = f’(3) tür.

f’(x) = 4x – 5 

f’(3) = 7 olur. Bu teğetin eğimidir.

Teğet denklemini kuralım. Teğetin eğimi ve bir noktası bilinmektedir.

y – (-9) = 7(x – 1)

y + 9 = 7x – 7

7x – y – 16 = 0


Bu teğetin x eksenini kestiği noktanın apsisi,

7x – 0 – 16 = 0

7x = 16

x = 16/7 dir.


Örnek:

f(x) = 2x3 + 4x2 – 5x + 1

Fonksiyonunun y = 3x + 5 doğrusuna paralel olan teğetlerinin fonksiyon grafiğine değme noktalarındaki koordinatlarını bulunuz.


Çözüm:

Fonksiyonun eğimini bulmalıyız, bunun için türevini hesaplamalıyız.

f’(x) = 6x2 + 8x – 5 dir.


y = 3x + 5 doğrusunun eğimi 3’tür.

f(x) fonksiyonuna teğet olan doğruların eğimi, f’(x) ifadesinde x yerine teğet oldukları noktanın apsisi konularak bulunur. 

Yani 6x2 + 8x – 5 = 3 olmalıdır.

Bu eşitliği sağlayan tüm x değerleri için f’(x) değeri 3’e eşit olur.

6x2 + 8x – 5 = 3

6x2 + 8x – 8 = 0


(3x – 2)(2x + 4) = 0

x1 = 2/3

x2 = -2 


x1 = 2/3 için,

6.4 
+ 8.2  – 5 = 3
3
9




x2 = - 2 için,

6.4 + 8. (-2) – 5 = 3

Görüldüğü gibi her iki değer için f’(x) fonksiyonu 3’e eşit olmaktadır ki bu aynı zamanda f(x) fonksiyonuna teğet doğrusunun bu noktalardaki eğimidir.

Eğimleri 3 olan tüm doğrular birbirine paraleldir.


Örnek:

f(x) = 2x3 – 8x2 – 3x + 7

fonksiyonunun grafiğine x = 3 noktasında çizilen teğetin ve bu teğete normal doğrunun denklemini yazınız.


Çözüm:

1. adımda fonksiyona x = 3 noktasında teğet olan doğrunun eğimi ve denklemi bulunur.

f(x) = 2x3 – 8x2 – 3x + 15

f’(x) = 6x2 – 16x – 3

x = 3 noktasındaki eğim,

f’(3) = 6.32 – 16.3 – 3

= 54 – 48 – 3

= 3


f(x) fonksiyonunda x = 3 için y değerini bulalım. Bu nokta teğet noktasının ordinatıdır.

f(3) = 54 – 72 – 9 + 15

= - 12

Buna göre teğetin değme noktası (3, -12) noktasıdır.


Teğetin denklemini bulalım.

y – (-12) = 3(x – 3)

y + 12 = 3x – 9

3x – y – 21 = 0



Normal denklemini de yazalım.

y – y0 = –1  . (x – x0)
f’(x0)



y + 12 = –1  . (x – 3)
3




3y + 36 = -x + 3

x + 3y + 33 = 0


Artan ve Azalan Fonksiyonlar

Maksimum ve Minimum Problemleri



SANATSAL BİLGİ

26/07/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI