TERS FONKSİYONUN TÜREVİ

Matematik dersi, türevler konusu. Bir fonksiyonun tersinin türevini almak. Ters fonksiyonların türevlerinin alınması ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



Bir fonksiyonun tersi kolayca alınabiliyorsa, fonksiyonun tersi alındıktan sonra uygun bir yoldan türev alma işlemi yapılır. Ancak fonksiyonun tersini almak kolay değilse veya bilinmiyorsa aşağıdaki formül uygulanarak kolayca ters fonksiyonun elde edilebilir.

(f-1)’(y) =1
f’(x)




Bu kural aşağıdaki bağıntıdan elde edilmektedir.

y = f(x) ise f-1(y) = x dir.

x’ = [f-1(y)]’

1 = (f-1)’(y) . y’

(f-1)’(y) =1




y’ = f’(x) olduğundan,

(f-1)’(y) =1
f’(x)




Burada türev almada önemli bir kuralı hatırlatmak istiyoruz.

Kural:

n ϵ R olmak üzere,

y = f(x)n şeklinde bir fonksiyon düşünelim. Bu fonksiyonun türevi,

y’ = n.(f(x))(n-1) . f’(x) dir.



Örnek:

y = (x + 1)3 fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

y = fog(x) olsun.

f(x) = x3

g(x) = (x + 1) olsun.

(fog)’(x) = f’(g(x)) . g’(x)

f’(x) = 3x2

f’(g(x)) = 3. (x + 1)2 

g’(x) = 1

(fog)’(x) = 3x2 + 6x + 3


Olur. Bu sonucu,

 (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 

İşleminin türevini alarak doğrulayabilirsiniz.


Şimdi ters fonksiyonların türevine geçelim.


Örnek:

f(x) = 3x + 9

olduğuna göre, f-1(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

1. Yol

Önce fonksiyonun tersini alıp sonra bu ters fonksiyonun türevini normal yoldan bulalım.

y = 3x + 9

y – 9 = 3x

x – 9 = 3y

y = x – 9
3




f-1(x) = x – 9
3



f-1(x) = x
–9
3
3




(f-1)’(x) =1
3




2. Yol

Genel kuralı uygulayalım.

(f-1)’(y) = 1
f’(x)




f(x) = 3x + 9

f’(x) = 3

(f-1)’(x) = 1
3




Örnek:

f(x) = 3x2 + 6

Olduğuna göre,

f-1(x) fonksiyonunun türevini bulunuz.


Çözüm:

Bu soruyu da iki yoldan yapalım.

1. Yol

Önce fonksiyonun tersini alıp daha sonra türeve geçelim.

f(x) = 3x2 + 6

y = 3x2 + 6

y – 6 = 3x2

x2 = y – 6
3




Fnctersturev_k1r1 


y = x dönüşümü yaparsak,

Fnctersturev_k1r2


Olur. Şimdi türevi alalım. Konu başında açıkladığımız kuralı uygulayalım.

y = f(x)n = n.(f(x))(n-1) . f’(x)

Burada,

f(x) =x – 6 dür.
3




Fnctersturev_k1r3


2. Yol

(f-1)’(y) = 1
f’(x)




f’(x) = 6x 

(f-1)’(y) = 1
6x




Şimdi x'i y cinsinden bulup türev eşitliğinde yerine yerleştirmeliyiz.

y = 3x2 + 6 

y – 6 = 3x2 

y – 6 = x2
3




Fnctersturev_k1r4



Kural:

y = f(x) fonksiyonunda,

y0 = f(x0) ↔ f-1(y0) = x0 için,

[f-1(y0)]’ =1
f’(x0)




Örnek:

f : R → R

f(x) = 2x4 + 2x fonksiyonu için,

(f-1)’(4) türevini hesaplayınız.


Çözüm:

[f-1(y0)]’ =1
f’(x0)




eşitliğini göz önünde bulunduralım. Burada y0 = 4’dür.

y =2x4 + 2x

4 = 2x4 + 2x

2x4 + 2x =4 → x0 = 1 olur.

f’(x) = 8x3 + 2

f’(1) = 10

[f-1(4)]’ =1
f’(1)




=1
10




Örnek:

f : Z+ → R

f(x) = 2x3 - 3x2 + 5

Olduğuna göre,

(f-1)’(9) türevi kaça eşittir.


Çözüm:

[f-1(y0)]’ = 1
f’(x0)




Eşitliğini kullanarak yapalım.

y = 2x3 – 3x2 + 5

9 = 2x3 – 3x2 + 5

x = 2 bulunur.

Yukarıda y’yi y0, x’i x0  kabul ettik.


f’(x) = 6x2 – 6x

(f-1)(9) = 1
f’(2)




(f-1)(9) = 1
24 – 12



= 1
12




Örnek:

f(2x + 6) = 4x2 + 6x


Olduğuna göre,

f’(x) türevini bulunuz.


Çözüm:

f(2x + 6) = 4x2 + 6x

Fonksiyonunda parantez içindeki ifadenin tersini bulursak f(x) fonksiyonunu bulmuş oluruz.


2x + 6 = y

2x = y – 6

2y = x – 6

y = x – 6
2



f[2.x – 6 + 6]
2




= 4. (x – 6 
)2 +6.x – 6
2
2




f(x) = 4. x2 – 12x + 36 + 3x – 18
4




f(x) = x2 – 12x + 36 + 3x – 18

f(x) = x2 – 9x + 18

f’(x) = 2x – 9


Örnek:

f(3x – 2) = 6x + 12


Olduğuna göre,

(f-1(x)) türevini bulunuz.


Çözüm:

3x – 2 = y

3x = y + 2

3y = x + 2

y = x + 2
3




f[3. x + 2 
- 2] = 6.x + 2 + 12
3
3




f(x) = 2x + 4 + 12

f(x) = 2x + 16


(f-1(y) = 1
f’(x)




f’(x) = 2

(f-1(y) = 1
2




Fonksiyonların Çarpımının Türevi

Fonksiyonların BölümününTürevi

Üslü Fonksiyonların Türevi




SANATSAL BİLGİ

15/07/2018

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI