TOPLAM FARK FORMÜLLERİ ÇÖZÜMLER
Ortaöğretim 12. sınıflar ve üniversiteye hazırlık matematik dersi, trigonometri konusu. Toplam ve fark formüllerinin kullanıldığı çeşitli soru biçimleri. Çözümlü testin çözümleri.
Çözüm – 1
Cos(2π/3) . cos(π/2) – sin(2π/3) . sin(π/2)
Toplam ve fark formüllerine göre,
Cos(x + y) = cosx.cosy – six.siny
x = 2π/3
y = π/2 dersek,
= 7π/6
= 210°
Cos(2π/3) . cos(π/2) – sin(2π/3) . sin(π/2) = cos(210°)
Cos(210) = cos(180 + 30)
= - cos30
Cos(x ± y) ve sin(x ± y) denklemlerini nasıl aklınızda tutarsınız.
Cos(x ± y), denkleminde cos’lar ve sin’ler ayrı çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin zıddıdır.
sin(x ± y) denkleminde sin’ler ve cos’lar karışık çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin aynısıdır.
Bu bilgi kolayca hafızanızda tutmanızı sağlayabilir.
Doğru cevap E seçeneği.
Çözüm – 2
Sin(π/6) . cos(π/3) + cos(π/6) . sin(π/3)
x = π/6
y = π/3
Bu denklemde sin ve cos ların karışık çarpıldıklarını görüyoruz öyleyse,
Sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx denklemini uygulayabiliriz.
x + y = π/2
= 90° olduğundan,
Sin(π/6) . cos(π/3) + cos(π/6) . sin(π/3) = sin(90)
= 1 olur.
Doğru cevap B seçeneği.
Çözüm – 3
Cos(20) . sin(50) – cos(70) . cos(50)
Burada sin ve cos karışık çarpım halinde o halde,
Sin(x – y) = six.cosy – siny.cosx eşitliğini kullanabilir miyiz? Ancak bir şey daha var, düzenli bir x, y ikilisi yok. O halde denklem üzerinde biraz oynama yapmalıyız.
Birbirini 90° tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
sin50 = cos40 tır.
cos50 = sin40 tır.
cos70 = sin20 dir.
Denklemi yeniden düzenleyelim.
cos(20) . sin(50) – cos(70) . cos(50) = Cos20.cos40 – sin20.sin40 eşitliği vardır.
cos20.cos40 – sin20.sin40 = cos(20 + 40) tır.
cos(20 + 40) = cos60°
= 0,5
Doğru cevap D seçeneği.
Çözüm – 4

Sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx eşitliğini kullanalım.
Dik üçgende Pisagor bağıntılarından,
|AB| = 10 br
|AC| = 3√5 birim olarak bulunur.
sinx.cosy + siny.cosx

Doğru cevap C seçeneği.
Çözüm – 5
(x + y) = π/2 olduğundan bu açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşit olacaktır. Zira trigonometrik bağıntılar dik üçgenlerde uygulanabilmektedir. O halde,
Olacaktır.
cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny olduğundan,
= 0,8
Doğru cevap E seçeneği.
Çözüm – 6

tanα = tan(180 – (x + y)) eşitliği vardır.
Tan(180 – (x + y)) = – tan(x + y) dir.
Burada (x + y) = ϑ gibi düşünebilirsiniz.
– tan(x + y) = tanα
tanα = – | tanx + tany |
|
1 – tanx.tany |
tanx = 5/2
tany = 5/3
Doğru cevap B seçeneği.
Çözüm – 7
ABE üçgenini göz önünde bulunduralım.
α = ϑ – β eşitliği vardır. iki açının eşitliğinden,
cosα = cos(ϑ – β) olur.
Kolaylık olması açısından 100 leri atıp baş sayılarını alabiliriz. Her 100 m’ye bir birim dersek,
ABE üçgeni 3 – 4 – 5 üçgenidir. |AB| = 5 br dir.
ADC üçgeninde |AC| uzunluğu Pisagor bağıntısından 4√5 birim bulunur.
Cos(ϑ – β) = cosϑ.cosβ + sinϑ.sinβ
≅ 0,89
Cos(ϑ – β) = cosα ≅ 0,89
α = cos-1 (0,89)
α= 27°
Doğru cevap E seçeneği.
Çözüm – 8

|AB| uzaklığı 50 m,
|KB| uzunluğu 100 m,
AKB üçgeninin bir 30 – 60 – 90 üçgeni olduğu görülüyor.
|AK| = 50√3 m
x + 45 = 60 ise
x = 60 – 45 olur.
İki açının eşitliğinden,
tanx = tan(60 – 45) olur.
tan(60 – 45) = | tan60-tan45 |
|
1+tan60.tan45 |
tan(60 – 45) = tanx = 2 - √3
100 - 50√3 + 2a - a√3 = 50√3
= a(2 - √3) = 100√3 – 100
= 270,4 m
Doğru cevap B seçeneği.
Çözüm – 9

= 2sinx + cosx – sinx
= sinx + cosx
Doğru cevap E seçeneği.
Çözüm – 10

= cosy – siny
Doğru cevap C seçeneği.
Test Soruları
Toplam ve Fark Formülleri Konu Anlatımı
SANATSAL BİLGİ
15/08/2019