TOPLAM FARK FORMÜLLERİ ÇÖZÜMLER

Ortaöğretim 12. sınıflar ve üniversiteye hazırlık matematik dersi, trigonometri konusu. Toplam ve fark formüllerinin kullanıldığı çeşitli soru biçimleri. Çözümlü testin çözümleri.


Çözüm – 1 

Cos(2π/3) . cos(π/2) – sin(2π/3) . sin(π/2)

Toplam ve fark formüllerine göre,

Cos(x + y) = cosx.cosy – six.siny

x = 2π/3

y = π/2 dersek,

x + y =
 + π
2
3




= 7π/6

= 210°

Cos(2π/3) . cos(π/2) – sin(2π/3) . sin(π/2) = cos(210°)

Cos(210) = cos(180 + 30)

= - cos30

= -3
2




Cos(x ± y) ve sin(x ± y) denklemlerini nasıl aklınızda tutarsınız.

Cos(x ± y), denkleminde cos’lar ve sin’ler ayrı çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin zıddıdır.

sin(x ± y) denkleminde sin’ler ve cos’lar karışık çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin aynısıdır.

Bu bilgi kolayca hafızanızda tutmanızı sağlayabilir.


Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 2 

Sin(π/6) . cos(π/3) + cos(π/6) . sin(π/3)

x = π/6

y = π/3

Bu denklemde sin ve cos ların karışık çarpıldıklarını görüyoruz öyleyse,

Sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx denklemini uygulayabiliriz.

x + y = π/2 

= 90° olduğundan,

Sin(π/6) . cos(π/3) + cos(π/6) . sin(π/3) = sin(90)

= 1 olur.

Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 3 

Cos(20) . sin(50) – cos(70) . cos(50)


Burada sin ve cos karışık çarpım halinde o halde,

Sin(x – y) = six.cosy – siny.cosx eşitliğini kullanabilir miyiz? Ancak bir şey daha var, düzenli bir x, y ikilisi yok. O halde denklem üzerinde biraz oynama yapmalıyız.

Birbirini 90° tamamlayan iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

sin50 = cos40 tır.

cos50 = sin40 tır.

cos70 = sin20 dir.

Denklemi yeniden düzenleyelim.

cos(20) . sin(50) – cos(70) . cos(50) = Cos20.cos40 – sin20.sin40 eşitliği vardır.

cos20.cos40 – sin20.sin40 = cos(20 + 40) tır.

cos(20 + 40) = cos60°

= 0,5

Doğru cevap D seçeneği.


Çözüm – 4 

Toplam_Fark_T1C4


Sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx eşitliğini kullanalım.

Dik üçgende Pisagor bağıntılarından,

|AB| = 10 br

|AC| = 3√5 birim olarak bulunur.

sinx =8
10



cosx =6
10



siny =3
3√5



cosy =6
3√5




sinx.cosy + siny.cosx

Toplam_Fark_T1C4B


Doğru cevap C seçeneği.


Çözüm – 5 

sinx = 1
5




siny = 2
5




(x + y) = π/2 olduğundan bu açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşit olacaktır. Zira trigonometrik bağıntılar dik üçgenlerde uygulanabilmektedir. O halde,

cosx = 2
5




cosy = 1
5




Olacaktır. 

cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny olduğundan,

cos(x – y) = 1
.2
+1
.2
5
5
5
5





= 2 
+2
5
5




= 0,8

Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 6 

Toplam_Fark_T1C6


tanα = tan(180 – (x + y)) eşitliği vardır.

Tan(180 – (x + y)) = – tan(x + y) dir.

Burada (x + y) = ϑ gibi düşünebilirsiniz.

– tan(x + y) = tanα

tanα = – tanx + tany
1 – tanx.tany




tanx = 5/2


tany = 5/3

tanα = –
5
+5
3
2

1 – 5
.5
3
2






= –

25
6


–19
6






= -25
. 6
= 25
19
-19
6





Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 7 

Toplam_Fark_T1C7                                                                                                                   

ABE üçgenini göz önünde bulunduralım.

α = ϑ – β eşitliği vardır. iki açının eşitliğinden,

cosα = cos(ϑ – β) olur.

Kolaylık olması açısından 100 leri atıp baş sayılarını alabiliriz. Her 100 m’ye bir birim dersek,

ABE üçgeni 3 – 4 – 5 üçgenidir. |AB| = 5 br dir.

ADC üçgeninde |AC| uzunluğu Pisagor bağıntısından 4√5 birim bulunur.

Cosϑ= 3
5



Cosβ = 8
4√5




=2√5
5




Sinϑ = 4
5




Sinβ = 5
5





Cos(ϑ – β) = cosϑ.cosβ + sinϑ.sinβ

= 3
. 2√5 
4
. 5
5
5
5
5





= 6√5
+ 4√5
25
25




= 10√5
25




≅ 0,89

Cos(ϑ – β) = cosα ≅ 0,89

α = cos-1 (0,89)

α= 27°


Doğru cevap E seçeneği.



Çözüm – 8 

Toplam_Fark_T1C8


|AB| uzaklığı 50 m,

|KB| uzunluğu 100 m,


AKB üçgeninin bir 30 – 60 – 90 üçgeni olduğu görülüyor.

|AK| = 50√3 m

x + 45 = 60 ise

x = 60 – 45 olur.

İki açının eşitliğinden,

tanx = tan(60 – 45) olur.

tan(60 – 45) = tan60-tan45
1+tan60.tan45




= 3 - 1= 2 – √3 
1 + √3




tan(60 – 45) = tanx = 2 - √3

tanx =50√3
50 + a




2 - √3 = 50√3
50 + a




100 - 50√3 + 2a - a√3 = 50√3

= a(2 - √3) = 100√3 – 100 

a = 100√3 – 100
2 - √3




= 173 - 100
0,27




= 73
0,27




= 270,4 m


Doğru cevap B seçeneği.


Çözüm – 9 

Toplam_Fark_T1C9


= 2sinx + cosx – sinx

= sinx + cosx


Doğru cevap E seçeneği.


Çözüm – 10 

Toplam_Fark_T1C10



= cosy – siny 


Doğru cevap C seçeneği.


Test Soruları

Toplam ve Fark Formülleri Konu Anlatımı



SANATSAL BİLGİ

15/08/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI