TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ

Matematik dersi, trigonometri konusu. Toplam ve fark formülleri. Cos(x + y), cos(x - y), sin(x + y), sin(x - y), tan(x + y), tan(x - y) ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü örnekler.


İki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini çeşitli biçimlerde yazabiliyoruz. Bu çeşitlilik bize karmaşık fonksiyonları hesaplamak için daha basit fonksiyonlardan yararlanma olanağı sunuyor. Bu özelliklerden birisi toplam ve fark formülleridir. Buna göre bir trigonometrik fonksiyonun açısını iki açının toplamı şeklinde yazabiliyoruz. Sonrasında bunu farklı trigonometrik fonksiyonlara dönüştürebiliyoruz.


1. cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny


Örnek:

Cos120° nin eşitini bulunuz.


Çözüm:

120 = 30 + 90 olduğundan bu iki açıyı kullanabiliriz.

Cos(30 + 90) = cos30.cos90 – sin30.sin90

= 3. 0 – (0,5 . 1)
2




= – 0,5


2. cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny

Örnek:

Cos15° kaça eşittir?


Çözüm:

15 = 60 – 45 olduğundan bu iki açıdan yararlanarak hesaplayabiliriz.

Cos(60 – 45) = cos60 . cos45 + sin60.sin45

= 0,5 . 2 
+3 
.2 
2
2
2




=2 
+ √6  
4
4




(√2 + √6 )/4


3. sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx


Örnek:

Sin135° = y olduğuna göre, y değerini bulunuz.

Çözüm:

135 = 90 + 45 olduğundan bu iki açıdan yararlanarak hesaplayabiliriz.

Sin(90 + 45) = sin90 . cos45 + sin45.cos90

= 1.2 
+2.0
2
2




= √2/2


4. sin(x – y) = sinx.cosy – siny.cosx


Örnek:

sin225° değerini hesaplayın.

Çözüm:

225 = 240 – 15 olduğundan bu iki açıdan yararlanmalıyız.

sin(240 – 15) = sin240.cos15 – sin15.cos240

240° nin sinüs ve cosinüs değerlerini bulmak kolaydır. Aşağıdaki gibi bir özdeşlik vardır.

Sin240 = sin(180 + 60) = – sin(60) = – √3/2

Cos240 = cos(180 + 60) = -cos60 = –0,5

15° nin sinüs ve kosinüs değerleri için yukarıdaki eşitliklerden yararlanırız.

Cos15= cos(45 – 30) 

= cos45.cos30 + sin45.sin30

= √2 
. √3  
+2
.1
2
2
2
2




= 6  
+ 2  

4
4




= 6 + √2
4




Sin15 = sin(45 – 30) 

= sin45.cos30 – cos45.sin30

= 2 
. 3 
-2
.1
2
2
2
2




=6
-2
4
4




=6 - √2
4




Bu sonuçları toplarsak aradığımız sonucu elde ederiz.

Sin(240 – 15) = sin240.cos15 – sin15.cos240

= – 3 
.6 + √2
-6 - √2
.-1
2
4
4
2




–√18 – √6 
 +6 – √2
8
8




= –4√2  
8




= –2
2



≅ –0,707

Bu arada bu denklemleri aklınızda tutmakta zorlanabilirsiniz. cos(x ± y) ve sin(x ± y) denklemlerini nasıl aklınızda tutmanın kolay bir yolu;

Cos(x ± y), denkleminde cos’lar ve sin’ler ayrı çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin zıddıdır.

sin(x ± y) denkleminde sin’ler ve cos’lar karışık çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin aynısıdır.

Bu bilgi aklınızda tutmanızı kolaylaştırır.


5. tan(x + y) = (tanx + tany)/(1 – tanx.tany)


Örnek:

tan75° yi hesaplayınız.

Çözüm:

75 = (30 + 45) olduğundan bu iki açıyı kullanacağız.

Toplam_fark1


≅  3,72


6. tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanx.tany)


Örnek:

tan15° değerini hesaplayınız.


Çözüm:

tan15 = tan45 – tan30 olduğundan, bu iki açıyı kullanarak hesaplayacağız.


tan45 = 1

tan30 = √3/3

Toplam_fark2


≅ 0,26 


7. cot(x + y) =1/(tan(x + y)


Örnek:

Cot(75) değerini hesaplayınız.


Çözüm:

75 = 45 + 30 olduğundan,

tan(45 + 30) eşitliği yukarıda bulunmuştu. Yerine koyarsak,

Toplam_fark3


8. cot(x – y) = 1/(tan(x – y)


Örnek:

tanx = 1/3

tany = 1/ 4

Olduğuna göre,

Cot(x – y) değerini hesaplayınız.


Çözüm:

Toplam_fark4


Toplam_fark5


= 1
13




Toplam_fark6


= 13
14




Toplam ve Fark Formülleri Çözümlü Sorular

Yarım Açı Formülleri

Dönüşüm Formülleri



SANATSAL BİLGİ

09/08/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM
COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI