TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ
Matematik dersi, trigonometri konusu. Toplam ve fark formülleri. Cos(x + y), cos(x - y), sin(x + y), sin(x - y), tan(x + y), tan(x - y) ile ilgili konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
İki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini çeşitli biçimlerde yazabiliyoruz. Bu çeşitlilik bize karmaşık fonksiyonları hesaplamak için daha basit fonksiyonlardan yararlanma olanağı sunuyor. Bu özelliklerden birisi toplam ve fark formülleridir. Buna göre bir trigonometrik fonksiyonun açısını iki açının toplamı şeklinde yazabiliyoruz. Sonrasında bunu farklı trigonometrik fonksiyonlara dönüştürebiliyoruz.
1. cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
Örnek:
Cos120° nin eşitini bulunuz.
Çözüm:
120 = 30 + 90 olduğundan bu iki açıyı kullanabiliriz.
Cos(30 + 90) = cos30.cos90 – sin30.sin90
= – 0,5
2. cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
Örnek:
Cos15° kaça eşittir?
Çözüm:
15 = 60 – 45 olduğundan bu iki açıdan yararlanarak hesaplayabiliriz.
Cos(60 – 45) = cos60 . cos45 + sin60.sin45
(√2 + √6 )/4
3. sin(x + y) = sinx.cosy + siny.cosx
Örnek:
Sin135° = y olduğuna göre, y değerini bulunuz.
Çözüm:
135 = 90 + 45 olduğundan bu iki açıdan yararlanarak hesaplayabiliriz.
Sin(90 + 45) = sin90 . cos45 + sin45.cos90
= √2/2
4. sin(x – y) = sinx.cosy – siny.cosx
Örnek:
sin225° değerini hesaplayın.
Çözüm:
225 = 240 – 15 olduğundan bu iki açıdan yararlanmalıyız.
sin(240 – 15) = sin240.cos15 – sin15.cos240
240° nin sinüs ve cosinüs değerlerini bulmak kolaydır. Aşağıdaki gibi bir özdeşlik vardır.
Sin240 = sin(180 + 60) = – sin(60) = – √3/2
Cos240 = cos(180 + 60) = -cos60 = –0,5
15° nin sinüs ve kosinüs değerleri için yukarıdaki eşitliklerden yararlanırız.
Cos15= cos(45 – 30)
= cos45.cos30 + sin45.sin30
Sin15 = sin(45 – 30)
= sin45.cos30 – cos45.sin30
Bu sonuçları toplarsak aradığımız sonucu elde ederiz.
Sin(240 – 15) = sin240.cos15 – sin15.cos240
≅ –0,707
Bu arada bu denklemleri aklınızda tutmakta zorlanabilirsiniz. cos(x ± y) ve sin(x ± y) denklemlerini nasıl aklınızda tutmanın kolay bir yolu;
Cos(x ± y), denkleminde cos’lar ve sin’ler ayrı çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin zıddıdır.
sin(x ± y) denkleminde sin’ler ve cos’lar karışık çarpılıyor ve aralarındaki işaret ana denklemdeki işaretin aynısıdır.
Bu bilgi aklınızda tutmanızı kolaylaştırır.
5. tan(x + y) = (tanx + tany)/(1 – tanx.tany)
Örnek:
tan75° yi hesaplayınız.
Çözüm:
75 = (30 + 45) olduğundan bu iki açıyı kullanacağız.
≅ 3,72
6. tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanx.tany)
Örnek:
tan15° değerini hesaplayınız.
Çözüm:
tan15 = tan45 – tan30 olduğundan, bu iki açıyı kullanarak hesaplayacağız.
tan45 = 1
tan30 = √3/3
≅ 0,26
7. cot(x + y) =1/(tan(x + y)
Örnek:
Cot(75) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
75 = 45 + 30 olduğundan,
tan(45 + 30) eşitliği yukarıda bulunmuştu. Yerine koyarsak,
8. cot(x – y) = 1/(tan(x – y)
Örnek:
tanx = 1/3
tany = 1/ 4
Olduğuna göre,
Cot(x – y) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Toplam ve Fark Formülleri Çözümlü Sorular
Yarım Açı Formülleri
Dönüşüm Formülleri
SANATSAL BİLGİ
09/08/2019