TRIGONOMETRIK DENKLEMLER COSX
Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. cosx = a, cos(ax) = b, cos(ax + b) şeklindeki denklemlerin çözüm kümelerinin bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
1. Cosx = a Şeklindeki Denklemler
Cosϑ = a şeklindeki denklemlerin iki farklı çözüm kümesi vardır.
k bir tamsayı olmak üzere,
x1 = ϑ + k.2π
x2 = -ϑ + k.2π
Örnek:
Cosx = √3/2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. k’nın farklı değerleri için denklemin çözüm kümesinin doğruluğunu gösteriniz.
Çözüm:
Cos30 = √3/2 olduğundan ϑ = 30° almalıyız.
x1 = 30 + k.360
x2 = -30 + k.360
Şimdi k değişkenine farklı değerler vererek bu iki çözümün doğruluğunu gösterelim.
x1 = 30 + k.360
k = 0 için,
x1 = 30°
k = 1 için,
x1 = 30 + 360
= 390°
390° nin esas ölçüsü,
360 + m = 390
m = 30° dir.
k = 2 için,
x1 = 30 + 2.360
= 30 + 720 = 750
750° nin esas ölçüsü,
360.2 + m = 750
m = 30° olur.
k = - 1 için,
x1 = 30 – 360 = - 330°
-330 nin esas ölçüsü,
m – 360 = - 330
m = 30°
k = -2 için,
x1 = 30 – 2.360
= 30 – 720
= -690°
-690 derecenin esas ölçüsü,
m – 2.360 = - 690
m = 720 – 690
= 30°
Şimdi x2 kökünü inceleyelim.
x2 = -30 + k.360
k = 0 için,
x2 = - 30°
k = 1 için,
x2 = - 30 + 360
= 330°
330 = 360 – 30 olduğundan doğrudur.
k = 2 için,
x2 = - 30 + 720
x2 = 690°
690° nin esas ölçüsü,
360 + m = 690
m = 330°
k = -1 için,
x2 = - 30 – 360
= - 390°
-390 derecenin esas ölçüsü,
m – 360 = - 390
m = -30°
k = -2 için,
x2 = -30 – 720
= - 750
-750 derecenin esas ölçüsü,
m – 720 = - 750
m = - 30
Yukarıdaki örneklerden gördüğümüz gibi k tamsayıs değeri için açının esas ölçüsü değişmemekte ve hep aynı kalmaktadır. Bu nedenle cosx = √3 / 2 denkleminin çözüm kümesi,
Ç.K = {x |x = 30 + k.360 V x = – 30 + k.360, k∈ Z}
Bu eşitlikte açı değerlerini radyan cinsinden de yazabiliriz.
Ç.K = {x |x = π/6 + k.2π V x = – π/6 + k.2π, k∈ Z}
Örnek:
Cosx = – 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
Cos180 = – 1 olduğundan, ϑ = 180 almalıyız.
x1 = 180 + k.360
k = 0 için x1 = 180, k = 1 için x1 = 540, k = 2 için x1 = 900, k = 3 için x1 = 1260
k = – 1 için, x 1= – 180, k = – 2 için x1 = – 540, k = – 3 için x1 = – 900
Yukarıda 180° = π dönüşümü yapar ve ortak çarpana alırsak,
x1 = (2k + 1).π olur.
x2 = – 180 + k.360
k = 0 için x2 = - 180, k = 1 için x2 = 180, k = 2 için x2 = 540
k = -1 için x2 = -540, k = -2 için x2 = -900
k ya hangi değeri verirsek verelim sonuç π sayısının tek katları olmaktadır. Bu kök için de yukarıdaki genellemeyi yapabiliriz.
x2 = (2k + 1).π olur.
Neden tek katlar, çünkü (π + k.2π) ifadesinde k’ya hangi değeri verirseniz verin sonuç π sayısının çift katı olur. Bu değere baştaki π sayısını da ilave edersek kök, π sayısının tek katı olur.
O halde çözüm kümesi,
Ç.K = {x | x = (2k + 1).2π, k ∈ Z}
2. cos(ax) = b Şeklindeki Denklemler
Örnek:
denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
Cos45 = √2/2 olduğundan, ϑ = 45° alacağız. Kosinüs denklemlerinin çözüm kümeleri aşağıdaki gibi idi.
x1 = ϑ + k.2π
x2 = -ϑ + k.2π
1. kök
2. kök
Bu iki kökü birleştirirsek,
Ç.K = {x | x = π/20 + k.2π/5 V x = -π/20 + k.2π/5, k ∈ Z}
Veya
Ç.K = {x | x = 9 + k.72 V x = - 9 + k.72, k ∈ Z}
3. cos(ax + b) = c şeklindeki denklemler
Örnek:
Cos(6x – 30) = 1/2 denkleminin çözüm kümesini yazınız.
Çözüm:
Cos60 =1 / 2 olduğundan, ϑ = 60° alacağız.
x1 = ϑ + k.2π
x2 = -ϑ + k.2π
6x1 – 30 = 60 + k.360
6x1 = 90 + k.360
x1 = 15 + k.60
6x2 – 30 = -60 + k.360
6x2 = -30 + k.360
x2 = -5 + k.60
Bu iki çözüm kümesini birleştirirsek,
Ç.K = {x | x = 15 + k.60 V x = -5 + k.60, k ∈ Z}
Trigonometrik sinx Denklemleri
SANATSAL BİLGİ
23/05/2019