Özel Ders

TRIGONOMETRIK DENKLEMLER COSX

Matematik dersi, trigonometrik denklemler konusu. cosx = a, cos(ax) = b, cos(ax + b) şeklindeki denklemlerin çözüm kümelerinin bulunması. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

1. Cosx = a Şeklindeki Denklemler

Cosϑ = a şeklindeki denklemlerin iki farklı çözüm kümesi vardır.

k bir tamsayı olmak üzere,

x1 = ϑ + k.2π

x2 = -ϑ + k.2π

Örnek:

Cosx = √3/2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. k’nın farklı değerleri için denklemin çözüm kümesinin doğruluğunu gösteriniz.

Çözüm:

Cos30 = √3/2 olduğundan ϑ = 30° almalıyız.

x1 = 30 + k.360

x2 = -30 + k.360

Şimdi k değişkenine farklı değerler vererek bu iki çözümün doğruluğunu gösterelim.

x1 = 30 + k.360

k = 0 için,

x1 = 30°

k = 1 için,

x1 = 30 + 360

= 390°

390° nin esas ölçüsü,

360 + m = 390

m = 30° dir.

k = 2 için,

x1 = 30 + 2.360

= 30 + 720 = 750

750° nin esas ölçüsü,

360.2 + m = 750

m = 30° olur.

k = - 1 için,

x1 = 30 – 360 = - 330°

-330 nin esas ölçüsü,

m – 360 = - 330

m = 30°

k = -2 için,

x1 = 30 – 2.360

= 30 – 720

= -690°

-690 derecenin esas ölçüsü,

m – 2.360 = - 690

m = 720 – 690

= 30°

Şimdi x2 kökünü inceleyelim.

x2 = -30 + k.360

k = 0 için,

x2 = - 30°

k = 1 için,

x2 = - 30 + 360

= 330°

330 = 360 – 30 olduğundan doğrudur.

k = 2 için,

x2 = - 30 + 720

x2 = 690°

690° nin esas ölçüsü,

360 + m = 690

m = 330°

k = -1 için,

x2 = - 30 – 360

= - 390°

-390 derecenin esas ölçüsü,

m – 360 = - 390

m = -30°

k = -2 için,

x2 = -30 – 720

= - 750

-750 derecenin esas ölçüsü,

m – 720 = - 750

m = - 30

Yukarıdaki örneklerden gördüğümüz gibi k tamsayıs değeri için açının esas ölçüsü değişmemekte ve hep aynı kalmaktadır. Bu nedenle cosx = √3 / 2 denkleminin çözüm kümesi,

Ç.K = {x |x = 30 + k.360 V x = – 30 + k.360, k∈ Z}

Bu eşitlikte açı değerlerini radyan cinsinden de yazabiliriz.

Ç.K = {x |x = π/6 + k.2π V x = – π/6 + k.2π, k∈ Z}

Örnek:

Cosx = – 1 denkleminin çözüm kümesini yazınız.

Çözüm:

Cos180 = – 1 olduğundan, ϑ = 180 almalıyız.

x1 = 180 + k.360

k = 0 için x1 = 180, k = 1 için x1 = 540, k = 2 için x1 = 900, k = 3 için x1 = 1260

k = – 1 için, x 1= – 180, k = – 2 için x1 = – 540, k = – 3 için x1 = – 900

Yukarıda 180° = π dönüşümü yapar ve ortak çarpana alırsak,

x1 = (2k + 1).π olur.

x2 = – 180 + k.360

k = 0 için x2 = - 180, k = 1 için x2 = 180, k = 2 için x2 = 540

k = -1 için x2 = -540, k = -2 için x2 = -900

k ya hangi değeri verirsek verelim sonuç π sayısının tek katları olmaktadır. Bu kök için de yukarıdaki genellemeyi yapabiliriz.

x2 = (2k + 1).π olur.

Neden tek katlar, çünkü (π + k.2π) ifadesinde k’ya hangi değeri verirseniz verin sonuç π sayısının çift katı olur. Bu değere baştaki π sayısını da ilave edersek kök, π sayısının tek katı olur.

O halde çözüm kümesi,

Ç.K = {x | x = (2k + 1).2π, k ∈ Z}

2. cos(ax) = b Şeklindeki Denklemler

Örnek: