TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Trigonometik fonksiyonlar trigonometrik özdeşlikler. Sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx fonksiyonları arasındaki ilişki ve bağıntılar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.



Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonlar arasındaki dönüşüm ve bağıntılar incelenecektir. 

Yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember deniliyordu. Birim çemberde trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki gibi yazılıyordu.

Trigonometrik_Fnc_k1i1



Trigonometrik Fonksiyonlar

1. Sinϑ = y

2. Cosϑ = x

3. Tanϑ = y
= sinϑ
cosϑ
x




4. Cosecϑ = 1 
= 1
sinϑ
y




5. Secϑ = 1 
= 1
cosϑ
x




6. Cotϑ = x 
= cosϑ
sinϑ
y




Şimdi bu fonksiyonlar arasındaki bağıntı ve özdeşlikleri inceleyelim. Açıları belirtmek için ϑ yerine x ve y simgeleri kullanacağız. Bu x ve y değişkenlerini yukarıdaki x ve y değerleri ile karıştırmayın.


1. sin2x+ cos2x = 1

Bu özdeşliğin ispatı daha önce yapılmıştı. Bakmak isteyenler konu sonundaki linki tıklayarak inceleyebilirler.


Örnek: 

Trigonometrik Fnc k1i2


İşleminin sonucu kaçtır?


Çözüm:

Cos2x + sin2x = 1

Cos2x = 1 – sin2x tir.

Bu sonucu yerine koyarsak,

Trigonometrik Fnc k1i3 


= 3



2. 1/cosx = secx


İspatı:

Yukarıda birim çember ve trigonometrik bağıntılarından,

Secϑ = 1/cosϑ

Olduğu gösterilmişti.

Buna göre cosϑ = 1/secϑ olur.


1 
=   1
1
secx 
 
cosx 





= secx olur.

Bu durum kareleri için de geçerlidir, yani,

1/cos2x = sec2x olur.


3. 1/sinx = cscx

İspatı:

Cscx = 1/sinx olduğundan,

Sinx = 1/cscx olur.


1 
= 1
1
cscx 
 
sinx 





= cscx


eşitliği bulunur.

Bu durum kareleri için de geçerlidir.

1/sin2x = csc2x


4. 1 + tan2x = sec2x

tanx = sinx tir.
cosx




Her iki tarafın karesini alırsak,

tan2x = sin2x
cos2x




Her iki tarafa 1 eklersek,

1 + tan2x = 1 + sin2x
cos2x




= cos2x + sin2x
cos2x





Cos2x + sin2x = 1 olduğundan,

1 + tan2x = 1 olur.
cos2x




1= sec2x idi böylece,
cos2x





1 + tan2x = sec2x olduğu ispatlanmış olur.


5. 1 + cot2x = csc2x

İspatı:

Cotx = cosx
sinx




Her iki tarafın karesini alalım.

Cot2x = cos2x
sin2x




Her iki tarafa 1 ekleyelim.

1 + cotx = 1 + cos2x
sin2x




= sin2x + cos2x
sin2x




= 1
sin2x




Sin2x = 1 idi.
csc2 x




1
1
csc2x





= csc2x


Örnek:

Trigonometrik Fnck1i6

olduğuna göre, sinx ve cosx değerlerini hesaplayınız?

Çözüm:

Cot2x + 1 = csc2x

Cotx in değerini yerine yazarsak,

Trigonometrik Fnck1i7


0° < x <180° olduğundan dolayı cscx pozitiftir. (2. Bölgede sinüs ve csc pozitiftir).

cscx = 7
6




Trigonometrik Fnck1i8


Sin2 + cos2  = 1

Trigonometrik Fnck1i9



= -13/49

Trigonometrik_Fnck1i10


X açısı 2. Çeyrekte olduğundan cosx değeri negatif olmalıdır.

Trigonometrik_Fnck1i11


6. Tamamlayıcı Açılar

Birbirini 90° ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

a) cos (90 – x) = sinx

b) sin(90 – x) = cosx


Örnek:

3Sin252 +3 sin248 –2 cos225 – 2cos265 işleminin sonucu nedir?


Çözüm:

Sin52 = cos48

Cos25 = sin65 olduğundan,

3(cos248 + sin248) –2 (sin265 + cos265)

3(1) – 2(1) = 1


Örnek:

5cos2x – 2sin2x + 2
cosx




İşleminin sonucu nedir?


Çözüm:

Paydada kosinüs fonksiyonu var. O halde pay mümkünse cosx fonksiyonuna dönüştürülmelidir.

Sin2x = 1 – cos2x eşitliğini yerine yazalım.

5cos2x – 2(1 – cos2x) + 2
cosx




= 5cos2x – 2 + 2cos2x + 2
cosx




= 7cos2x
cosx




= 7cosx



Örnek:

Cosx.sinx = 0,2 olduğuna göre, 

Trigonometrik_Fnck1i12

işleminin sonucu nedir?


Çözüm:

Secx = 1/cosx

Cscx = 1/sinx

Trigonometrik_Fnck1i13


= 25


Örnek:

tanx + cotx = 8/5 olduğuna göre, cosx + sinx işleminin sonucu nedir?


Çözüm:

tanx = sinx/cosx

cotx = cosx/sinx

Olduğundan,

Trigonometrik_Fnck1i14



(sinx + cosx) = K olsun.

Şimdi her iki tarafın karesini alalım.

Sin2x + cos2x + 2sinxcosx = K2 olur.

Sin2x + cos2x = 1 ve sinx.cosx = (5/8) olduğundan,

1 + 2.5 = K2
8




1 + 5 = K2
4




9 = K2
4




K = 3/2

Sinx + cosx = 3/2



Çemberde Trigonometrik bağıntılar

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar



SANATSAL BİLGİ

02/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI