TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

Trigonometik fonksiyonlar trigonometrik özdeşlikler. Sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx fonksiyonları arasındaki ilişki ve bağıntılar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.

Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonlar arasındaki dönüşüm ve bağıntılar incelenecektir. 

Yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember deniliyordu. Birim çemberde trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki gibi yazılıyordu.

Trigonometrik Fonksiyonlar

1. Sinϑ = y

2. Cosϑ = x

Şimdi bu fonksiyonlar arasındaki bağıntı ve özdeşlikleri inceleyelim. Açıları belirtmek için ϑ yerine x ve y simgeleri kullanacağız. Bu x ve y değişkenlerini yukarıdaki x ve y değerleri ile karıştırmayın.

1. sin²x+ cos²x = 1

Bu özdeşliğin ispatı daha önce yapılmıştı. Bakmak isteyenler konu sonundaki linki tıklayarak inceleyebilirler.

Örnek: 

İşleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

Cos²x + sin²x = 1

Cos²x = 1 – sin²x tir.

Bu sonucu yerine koyarsak,

= 3

2. 1/cosx = secx

İspatı:

Yukarıda birim çember ve trigonometrik bağıntılarından,

Secϑ = 1/cosϑ

Olduğu gösterilmişti.

Buna göre cosϑ = 1/secϑ olur.

= secx olur.

Bu durum kareleri için de geçerlidir, yani,

1/cos²x = sec²x olur.

3. 1/sinx = cscx

İspatı:

Cscx = 1/sinx olduğundan,

Sinx = 1/cscx olur.

= cscx

eşitliği bulunur.

Bu durum kareleri için de geçerlidir.

1/sin²x = csc²x

4. 1 + tan²x = sec²x

Her iki tarafın karesini alırsak,

Her iki tarafa 1 eklersek,

Cos²x + sin²x = 1 olduğundan,

1 + tan²x = sec²x olduğu ispatlanmış olur.

5. 1 + cot²x = csc²x

İspatı:

Her iki tarafın karesini alalım.

Her iki tarafa 1 ekleyelim.

= csc²x

Örnek:

olduğuna göre, sinx ve cosx değerlerini hesaplayınız?

Çözüm:

Cot²x + 1 = csc²x

Cotx in değerini yerine yazarsak,

0° < x <180° olduğundan dolayı cscx pozitiftir. (2. Bölgede sinüs ve csc pozitiftir).

Sin² + cos²  = 1

= -13/49

X açısı 2. Çeyrekte olduğundan cosx değeri negatif olmalıdır.

6. Tamamlayıcı Açılar

Birbirini 90° ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.

a) cos (90 – x) = sinx

b) sin(90 – x) = cosx

Örnek:

3Sin²52 +3 sin²48 –2 cos²25 – 2cos²65 işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Sin52 = cos48

Cos25 = sin65 olduğundan,

3(cos²48 + sin²48) –2 (sin²65 + cos²65)

3(1) – 2(1) = 1

Örnek:

İşleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Paydada kosinüs fonksiyonu var. O halde pay mümkünse cosx fonksiyonuna dönüştürülmelidir.

Sin²x = 1 – cos²x eşitliğini yerine yazalım.

= 7cosx

Örnek:

Cosx.sinx = 0,2 olduğuna göre, 

işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

Secx = 1/cosx

Cscx = 1/sinx

= 25

Örnek:

tanx + cotx = 8/5 olduğuna göre, cosx + sinx işleminin sonucu nedir?

Çözüm:

tanx = sinx/cosx

cotx = cosx/sinx

Olduğundan,

(sinx + cosx) = K olsun.

Şimdi her iki tarafın karesini alalım.

Sin²x + cos²x + 2sinxcosx = K² olur.

Sin²x + cos²x = 1 ve sinx.cosx = (5/8) olduğundan,

K = 3/2

Sinx + cosx = 3/2

Çemberde Trigonometrik bağıntılar

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

SANATSAL BİLGİ

02/05/2019