TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Trigonometik fonksiyonlar trigonometrik özdeşlikler. Sinx, cosx, tanx, cotx, secx, cscx fonksiyonları arasındaki ilişki ve bağıntılar. Konu anlatımı ve çözümlü örnekler.
Bu bölümde trigonometrik fonksiyonlar ve bu fonksiyonlar arasındaki dönüşüm ve bağıntılar incelenecektir.
Yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember deniliyordu. Birim çemberde trigonometrik fonksiyonlar aşağıdaki gibi yazılıyordu.

Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Sinϑ = y
2. Cosϑ = x
Şimdi bu fonksiyonlar arasındaki bağıntı ve özdeşlikleri inceleyelim. Açıları belirtmek için ϑ yerine x ve y simgeleri kullanacağız. Bu x ve y değişkenlerini yukarıdaki x ve y değerleri ile karıştırmayın.
1. sin2x+ cos2x = 1
Bu özdeşliğin ispatı daha önce yapılmıştı. Bakmak isteyenler konu sonundaki linki tıklayarak inceleyebilirler.
Örnek:

İşleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Cos2x + sin2x = 1
Cos2x = 1 – sin2x tir.
Bu sonucu yerine koyarsak,
= 3
2. 1/cosx = secx
İspatı:
Yukarıda birim çember ve trigonometrik bağıntılarından,
Secϑ = 1/cosϑ
Olduğu gösterilmişti.
Buna göre cosϑ = 1/secϑ olur.
= secx olur.
Bu durum kareleri için de geçerlidir, yani,
1/cos2x = sec2x olur.
3. 1/sinx = cscx
İspatı:
Cscx = 1/sinx olduğundan,
Sinx = 1/cscx olur.
= cscx
eşitliği bulunur.
Bu durum kareleri için de geçerlidir.
1/sin2x = csc2x
4. 1 + tan2x = sec2x
Her iki tarafın karesini alırsak,
Her iki tarafa 1 eklersek,
1 + tan2x = 1 + | sin2x |
|
cos2x |
Cos2x + sin2x = 1 olduğundan,
| 1 | = sec2x idi böylece, |
cos2x |
1 + tan2x = sec2x olduğu ispatlanmış olur.
5. 1 + cot2x = csc2x
İspatı:
Her iki tarafın karesini alalım.
Her iki tarafa 1 ekleyelim.
1 + cotx = 1 + | cos2x |
|
sin2x |
= csc2x
Örnek:

olduğuna göre, sinx ve cosx değerlerini hesaplayınız?
Çözüm:
Cot2x + 1 = csc2x
Cotx in değerini yerine yazarsak,

0° < x <180° olduğundan dolayı cscx pozitiftir. (2. Bölgede sinüs ve csc pozitiftir).

Sin2 + cos2 = 1

= -13/49

X açısı 2. Çeyrekte olduğundan cosx değeri negatif olmalıdır.

6. Tamamlayıcı Açılar
Birbirini 90° ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
a) cos (90 – x) = sinx
b) sin(90 – x) = cosx
Örnek:
3Sin252 +3 sin248 –2 cos225 – 2cos265 işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Sin52 = cos48
Cos25 = sin65 olduğundan,
3(cos248 + sin248) –2 (sin265 + cos265)
3(1) – 2(1) = 1
Örnek:
İşleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Paydada kosinüs fonksiyonu var. O halde pay mümkünse cosx fonksiyonuna dönüştürülmelidir.
Sin2x = 1 – cos2x eşitliğini yerine yazalım.
| 5cos2x – 2(1 – cos2x) + 2 |
|
cosx |
= | 5cos2x – 2 + 2cos2x + 2 |
|
cosx |
= 7cosx
Örnek:
Cosx.sinx = 0,2 olduğuna göre,

işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
Secx = 1/cosx
Cscx = 1/sinx

= 25
Örnek:
tanx + cotx = 8/5 olduğuna göre, cosx + sinx işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
tanx = sinx/cosx
cotx = cosx/sinx
Olduğundan,

(sinx + cosx) = K olsun.
Şimdi her iki tarafın karesini alalım.
Sin2x + cos2x + 2sinxcosx = K2 olur.
Sin2x + cos2x = 1 ve sinx.cosx = (5/8) olduğundan,
K = 3/2
Sinx + cosx = 3/2
Çemberde Trigonometrik bağıntılar
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar
SANATSAL BİLGİ
02/05/2019