TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

Matematik dersi, trigonometri konusu. Trigonometrik fonksiyonların grafikleri. y = sinx, y = sinx + a, y = sin(ax), y = sin(x/a) ve y = asinx fonksiyonlarının grafiklerinin çizimi. 


f(x) = Sinx fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alan bir fonksiyondur. Bu fonksiyonda x eksenindeki değerlere karşılık y eksenindeki değerler -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. En büyük değeri 1, en küçük değeri -1 dir. 

Bilindiği gibi bir fonksiyonun grafiğini çizerken x yerine çeşitli değerler vererek buna karşılık gelen y değerlerini işaretliyor ve bu noktaları birleştiriyorduk. Sinx fonksiyonunun grafiğini çizerken de aynı yöntemi uygulayacağız. Yalnız, burada x yerine seçeceğimiz değerleri rastgele almayacağız ki işimiz kolay olsun.

1. sin0 = 0

2. sin30 = sin(π/6) = 0,5

3. sin60 = sin(π/3) = √3/2

4. Sin90 = sin(π/2) = 1

5. Sin120 = sin(2π/3) = √3/2

6. Sin150 = sin(5π/6) = 0,5

7. Sin180 = sinπ = 0

8. sin210 = sin (7π/6) = -0,5

9. sin240 = sin(4π/3) = -√3/2

10. sin270 = sin(3π/2) = -1

11. sin300 = sin(10π/6) = -√3/2

12. sin330 = sin(11π/6) = -0,5

13. sin360 = sin2π = 0


y = sinx fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun periyodu 2π dir, grafiği orijinden geçer. Bu fonksiyonun grafiğini kolayca çizebilmek için √3/2 değerlerini almayacağız. Sadece -1, 0, 0,5 ve 1 değerlerine göre işaretleme yapacağız.

Sinus_grafik1


y = sinx fonksiyonu periyodik olduğundan, 0 – 2π aralığındaki grafiğini çizdikten sonra bu grafiği çoğaltıp uç uca ekleyerek istediğimiz kadar uzatabiliriz. Her iki yönde de grafiğin şekli aynı olacaktır. Aşağıda grafiğin her iki yöne uzatılmış biçimi görülüyor.

Sinus_grafik2



Sinx fonksiyonu tek fonksiyon olup, grafiği orijine göre simetriktir.

sinx fonksiyonunun 0’ları: y = sinx fonksiyonunu 0 yapan x değerlerine sinx fonksiyonunun 0’ları denir. Yukarıda görüleceği üzere bu değerler; -3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π şeklinde π sayısının tam katlarıdır. Yani 180 ve 360 derecelerin katlarında y = 0 olmaktadır.


Sinx Fonksiyonunun Diğer Biçimlerini Çizmek

1. y = sinx + a fonksiyonunun grafiğini çizmek.

Bu fonksiyonun grafiğini çizerken y = sinx fonksiyonunda x değerlerine karşılık gelen y değerlerine a eklenerek çizilir.

Örnek:

y = sinx + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm:

x = 0 için, y = sin0 + 2 = 2

x = π/6 için, y = sin30 + 2 = 2,5

x = π/2 için y = sin90 + 2 = 3

x = 5π/6 için y = sin150 + 2 = 2,5

x = π için, y = sin180 + 2 = 2

x = 3π/2 için, y = sin270 + 2 = 1

y’nin en küçük değeri 1, en büyük değeri 3 olmaktadır.

y = sinx grafiğini 2 birim yukarı kaldırmalıyız. Başka bir şey yapmaya gerek yok. Grafiğin çizimi, şekli, periyodu değiştirilmez. Sadece y ekseninde 2 birim yukarı kaydırılır.

Eğer fonksiyonumuz y = sinx – 2 şeklinde olsaydı ne olurdu. Tabii ki bu kez 2 birim aşağı kaydırırdık.

Sinus_grafik3


2. y = sin(x/a) fonksiyonunun grafiğinin çizimi.

Örnek:

y = sin(x/3) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

y = sin(x/3) fonksiyonunun periyodunu bulalım. Bu periyod T olsun,

y = sin(x + 3/T) = sinx/3

sin[(x+3)/T] = sin(x/3) . cos(T/3) + cos(x/3).sin(T/3)

sin(x/3) . cosT + cos(x/3).sinT = sin(x/3)

Bu eşitliğin sağlanabilmesi için, cos(T/3) = 1, sin(T/3) = 0 olmalıdır.

Cos(T/3) = 1 ise T = k.6π

Sin(T/3) = 0 ise, T = k.6π

Yani periyod 6π nin tam katlarıdır. En küçükleri 6π dir. Öyleyse y = sin(x/3) fonksiyonunun esas periyodu 6π dir. Bu periyod y = sinx fonksiyonunun periyodunun 3 katıdır.

Y değeri x’in 3 tam katı değerlerinde 0 olacaktır. En yakın 0 değerlerini X = -3π ve x = 3π noktalarında alır. x değişkenine -3π ile +3π arasında değerler verirseniz y’nin -1 ile 1 arasında değerler aldığını görürsünüz. y’nin 1 olduğu değerler 3π/2 ve -3π/2 değerleridir

Grafiği incelediğimizde, fonksiyonun dalga boyunun uzadığını görüyoruz. Buna göre sinyalin hızında azalma olmuştur. Dalga boyu 3 kat arttığına göre hız 1/3 e düşmüştür.


Sinus_grafik4 


Eğer y = sin3x grafiğini çizecek olursak, bu kez periyodun 3 kat azaldığını görürüz. Yani grafiği sıkıştırmak gerekecektir.


4. y = a.sinx Fonksiyonunun Çizimi

Bu fonksiyonun grafiğinde y = sinx için bulunan değerler, a ile çarpılır ve grafik bu değerlere göre çizilir.

Örnek:

y = 3sinx fonksiyonunun grafiğini çiziniz.


Çözüm:

X = π için sinx = 0, 3sinx = 0 olur.

X = π/2 için sinx = 1, 3sinx = 3 olur.

X = π/6 için, sinx = 0,5, 3sinx = 1,5 olur.

X = 5π/6 için sinx = 0,5, 3sinx = 1,5 olur.

X = 3π/2 için sinx = -1, 3sinx = -3 olur.

X = 11π/6 için, sinx = -0,5, 3sinx = -1,5 olur.

X = 2π için, sinx = 0, 3sinx = 0 olur.

Buna göre grafiğin periyodu yine 2π olup, sadece y değerinin katsayısı değişecektir. y = sinx fonksiyonunun yüksekliğini 3 kat alttan, 3 kat üstten artırmalıyız.

Sinus_grafik5


y = 1/3 . sinx fonksiyonunun grafiği nasıl olur. Yukarıda verdiğimiz değerleri bu 3 ile değil de 1/3 ile çarparsanız, y = 1/3. Sinx fonksiyonunun değerlerini elde edersiniz. Şüphesiz bu kez grafiğin yüksekliğini alttan ve üstten 3 kat azaltmanız gerekecektir. 


y = sin( - x ) fonksiyonunun grafiği nasıl olur. sin(-x) = -sinx olduğundan y = 1 olduğu yerde y = -1 olur. Diğer değerlerde bu şekilde işaret değiştirir. Sonuçta grafiği ters çevirmemiz gerekir. x ekseninin üstünde kalan kısım x ekseninin altına, x ekseninin altında yer alan kısım x ekseninin üstüne geçecek şekilde çizilir.

Sinus_grafik6



Kosinüs Fonksiyonunun Grafiği

Tanjant Fonksiyonunun Grafiği


SANATSAL BİLGİ

14/05/2019

  • YORUM YAZ
  • ADI SOYADI(veya nick)
  • YORUM

COPYRIGHT© HER HAKKI SAKLIDIR
Sitede Yer Alan Bilgi Belge Ve Materyallerin İzinsiz olarak Kopyalanması ve Alıntılanması Yasaktır

SANATSAL BILGI