TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYODU

Matematik dersi, trigonometrik fonksiyonlar konusu. Trigonometrik fonksiyonların periyotlarının hesaplanması. six, cosx, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyotlarının bulunması ve ispatı.

Tanım:

f → R fonksiyonu için,

∀ x ϵ R için,

f(x + T) = f(x) olacak şekilde bir T sayısı varsa,

f(x) fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur ve bir periyodu T’dir.

f(x + T) = f(x) eşitliğini sağlayan en küçük T sayısına fonksiyonun esas periyodu denir. Esas periyoda kısaca periyod denilir.

Periyod kavramını biliyorsunuzdur. Sürekli aynı hareketi tekrar eden bir cismin bir tam hareketi için geçen süreye 1 periyod deniliyordu. Bu cisim bir yay olabilir, bir dalga olabilir, bir dişli olabilir, dönmekte olan bir mil veya tel sargı olabilir. Bu saydıklarımızın hızları sabit ise hareketleri periyodik harekettir.

Matematiksel olarak büyüklüğünü, hareketini incelediğimiz cisimlerin veya enerjinin niceliklerini fonksiyonel olarak ifade edebiliriz. Bu fonksiyon değerlerini grafiğe aktararak daha kolay inceleyebilir ve analiz edebiliriz. Bu grafiğe aktarma işlemini, hareket periyodik olursa çok kolay biçimde yapabiliriz.

Mühendisler; makineleri, uyduları, roketleri tasarlarken bunların hareket denklemlerini yazar, sabit hızda ve sürtünmeli ortamda alacağı yolu, harcayacağı enerjiyi hesap ederler. Plan ve projeler bu hesaplar üzerine yapılır.

Günlük yaşamda en fazla kullanılan grafik çeşidi sinüsoidal grafiktir. Elektrik enerjisi üzerine yapılan grafiklerin hemen tümü sinüsoidaldır. 

Sinüs fonksiyonu trigonometrik bir fonksiyondur. Bu fonksiyonun incelenmesi, grafik ve periyodunun çıkarılması matematikle ilgili hemen her alanda çok önemlidir.

Sinx Fonksiyonunun Periyodu

f(x) = sinx

f(x) fonksiyonu periyodik ise,

f(x + T) = sin(x + T) = sinx olmalıdır.

sin(x + T) = sinx olması için, T = 2π olmalıdır. Neden, çünkü 2π = 360 olduğundan, sin(x + 2π) = sinx tir. Esas açı kavramını hatırlayınız. Bir açıya 360° (2π) nin katları eklenirse bu açının esas ölçüsü değişmez.

Şu halde sin(x +2π), sin(x + 4π), sin(x + 120π) fonksiyonlarının hepsi sinx ‘e eşittir.

Aşağıda başka bir ispat göstereceğiz.

Sin(x + T) = = sinx

Sin(x + T) = sinx.cosT + sinT.cosx

sinx.cosT + sinT.cosx = sinx ise,

sinx.cosT = sinx ve

sinT.cosx = 0 olmalıdır.

sinx.cosT = sinx ise cosT = 1 olmalıdır.

cosT = 1 ise T =k. 2π 

sinT = 0 ise T = k.2π olmalıdır.

T değeri 2π nin tam katlarıdır. T değerini aşağıdaki gibi yazabiliriz.

T = k.2π

Buradan 2π nin tam katlarının hepsi bir periyoddur. Bunların en küçüğü olan 2π sayısı esas periyodu veya kısaca periyodudur.

Cosx Fonksiyonunun Periyodu

f(x) = cosx

f(x) fonksiyonu periyodik ise,

f(x + T) = cos(x + T) = cosx olmalıdır.

cos(x + 2π) = cosx olduğundan, cosx fonksiyonun periyodu 2π dir. Sinx fonksiyonunun periyodunda olduğu gibi burada da aynı durum geçerlidir.

Bunun ispatını da 2. bir yoldan yapalım.

f(x + T) = cos(x + T) = cosx olmalıdır.

cos(x + T) = cosx.cosT – sinT.sinx 

cosx.cosT – sinT.sinx = cosx ise,

cosT = 1, sinT = 0 olmalı.

cosT = 1 ise, T = k.2π

sinT = 0 ise, T = k.2π

Buradan cosx fonksiyonunun periyodunun da 2π olduğu ispatlanmış olur.

f(x) = tanx Fonksiyonunun Periyodu

f(x) = tanx

f(x + T) = tan(x + T)

tan(x + T) = tanx ise,

tanT = 0 olmalı

tanT = 0 ise, T = π olmalıdır.

Böylece tanx fonksiyonunun periyodunun π olduğu gösterilmiş olur.

f(x) = Cotx Fonksiyonunun Periyodu

cotx, tanx'in tersi olduğundan cotx fonksiyonunun periyodu da π dir.

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Yukarıdaki fonksiyonlara herhangi bir sabit eklenmesi halinde de periyot aynıdır, değişmez.

Bu değerlerde gözönünde bulundurulması gereken a = 1 ve b = 0 olabileceğidir. Örneğin,

Sin⁶(ax + b) ifadesinde a = 1 ve b = 0 yaparsak,

Sin⁶x olur. Bu fonksiyonun periyodu 2π/1 = 2π dir.

Örnek:

Sin⁶(x + π/2) + cos⁶(x + π/2) işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm:

= (0 + cosx)⁶

= cos⁶x

= (0 – sinx)⁶

= sin⁶x

Buna göre,

Sin⁶(x + π/2) + cos⁶(x + π/2) = sin⁶x + cos⁶x 

Örnek:

30 + 5sin(6x + 9) fonksiyonunun periyodu kaçtır?

Çözüm:

Yukarıdaki tablodan görüleceği üzere,

T = 2π/|a|

T = 2π/6

T = π/3

Trigonometrik Fonksiyonlar

SANATSAL BİLGİ

11/05/2019